Диагонализируемая Алгебраическая Группа

- аффинная алгебраич. Группа G, изоморфная замкнутой подгруппе алгебраического тора. Таким образом, Gизоморфна замкнутой подгруппе мультипликативной группы всех диагональных матриц нек-рого фиксированного порядка. Если Gопределена над полем k и указанный изоморфизм определен над к, то Д. А. Г. G наз. Разложимой (или расщепимой) над k. Всякая замкнутая подгруппа H в Д. А. Г. G, а также образ Gпри любом рациональном гомоморфизме j являются Д. А. Г. Если к тому же группа Gопределена и. Разложима над полем к, а ср определен над k, то и Ни. J(G) определены и разложимы над k. Д. А. т. G разложима над ктогда и только тогда, когда. Каждый элемент из группы G всех ее рациональных характеров является рациональным над к. В случае, если. В Gнет неединичных рациональных над кэлементов,.

Д. А. Г. Gназ. Анизотропной над k. Всякая Д. А. Г. G, определенная над полем k, разложима над, нек-рым конечным сепарабельным расширением поля k. Д. А. Г. Gсвязна тогда и только тогда, когда она является алгебраич. Тором. Связность Gэквивалентна, также отсутствию кручения в группе G. Для произвольной Д. А. Г. G, определенной над к, группа Gявляется конечно порожденной абелевой группой, не имеющей р-кручения, где р- характеристика поля k. Произвольная определенная и разложимая над полем kД. А. Г. Gявляется прямым произведением конечной абелевой группы и алгебраич. Тора, определенного и разложимого над к. В любой связной определенной над полем кД. А. Г. Gимеется наибольший анизотропный подтор Ga и наибольший разложимый над кподтор Gd, для которых G=GaGd и - конечное множество.

Если Д. А. Г. Gопределена над полем k и Г - группа Галуа сепарабельного замыкания поля к, то снабжается непрерывным действием группы Г. Если при этом - рациональный гомоморфизм двух Д. А. Г., причем G, Н и j определены над полем к, то индуцированный j гомоморфизм является Г-эквивариантным (т. Е. Является гомоморфизмом Г-модулей). Возникающий таким образом контравариантный функтор из категории диагонализируемых k-групп и их k-морфизмов в категорию конечно порожденных абелевых групп без р-кручения с непрерывным действием группы Г и их Г-эквивариантных гомоморфизмов оказывается эквивалентностью указанных категорий. Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2] Оnо Т., "Ann. Math.", 1961, v.

74, MS 1, p. 101 - 39. В. Л. Попов..