Диофантовы Уравнения

Раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами.. ..

- диофантовы уравнения, для к-рых ставится задача нахождения целочисленных решений и к-рые могут одновременно рассматриваться как аддитивные проблемы, т. Е. Как задачи о разбиении целого числа п(произвольного или подчиненного дополнительным условиям) на слагаемые заданного типа. К Д. П. А. Т. Можно отнести, напр., решение в целых числах следующих уравнений. п = х 2+у 2 (см. Гауссово число), п = х 2+у 2 + z2+t2 (см. Лагранжа теорема о сумме четырех квадратов), п= х 2+ у 2+ z2 (см. Целая т..

- раздел теории чисел, изучающий метрич. Свойства чисел, обладающих определенными свойствами аппроксимации (см. Диофантовы приближения, Метрическая теория чисел). Одной из первых теорем Д. П. М. Т. Является теорема Хинчина (см. [1], [2]), в современной форме утверждающая (см. [3]). Пусть j(q)>0 - монотонно убывающая функция, определенная для целых q>0. Тогда неравенства ||aq||<j(q) для почти всех действительных а имеют бесконечное число решений в целых q>0, если расходится ряд и и..

- получение эффективных решений задач диофантовых приближений, для к-рых известно решение, полученное неэффективными методами, т. Е. Методами, не допускающими принципиальной возможности численного выражения результата. Таковы, например, теоремы А. Туэ (A. Thue), К. Зигеля (С. Siegel), К. Рота (К. Roth), В. Шмидта (W. Schmidt), их обобщения, аналоги и следствия (см. Туэ- Зигеля - Рота теорема, Диофантовы приближения). Неэффективность этих теорем объясняется логич. Структурой метода, основанног..