Инвариантная Мера

- 1) И. М. В измеримом пространстве относительно измеримого преобразования Тэтого пространства - такая мера m на что m(A)=m(T-1A). Для всех Обычно подразумевается, что мера конечная (т. Е. или по крайней мере cr-конечная (т. Е. Xможно представить в виде счетного объединения где. В наиболее важном случае, когда Т- биекция и отображение T-1 тоже измеримо (тогда говорят, что Тобратимо, имея в виду обратимость в классе измеримых преобразований), инвариантность меры m эквивалентна тому, что m(A)=m(TA). Для всех Наконец, И. М. Для семейства (измеримых) преобразований - полугруппы, группы, потока и т. Д.- называется мера, инвариантная относительно всех преобразований из этого семейства. Понятие И. М. Играет важную роль в теории динамич.

Систем и эргодич. Теории. В последней рассматриваются различные свойства динамич. Систем в пространстве с мерой имеющих m. Своей И. М. Если динамич. Система имеет несколько И. М., напр. M и v, то ее свойства как системы в (X, B, m) (свойства по отношению к И. М. M) могут отличаться от ее же свойств как системы в (свойств по отношению к v). Когда у фиксированной динамич. Системы рассматриваются разные И. М., то о свойствах системы относительно И. М. И. Часто говорят короче как о свойствах меры и. (напр., "эргодичность m" означает эргодичность данной системы как системы в (X, B,m), т. Е. Отсутствие инвариантных множеств и Исторически первые примеры И. М. Связаны с дифференциальными свойствами преобразований, образующих потоки нек-рых специальных типов на гладких многообразиях (см.

Гамильтонова система, Интегральный инвариант). В терминах (локальных) координат х г, . ., х п эти меры и. Представляются в виде dm=rdx1 . Dxn, причем имеются явные выражения для плотности r=r(x1, ..., х п). В примерах алгебраич. Происхождения (групповые сдвиги и т. Д.) И. М. Часто является мера Хаара или мера, получающаяся из нее с помощью какой-нибудь естественной конструкции. В топологич. Динамике Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым ([1], см. Также [2], [3]) доказано существование конечных эргодич. И. М. Для непрерывных потоков и каскадов на метрич. Компакте X(возможны нек-рые обобщения [4], [5], [6]). Неэргодические конечные И. М. Являются, в нек-ром смысле, линейными комбинациями эргодических. Носители конечных И. М. Определенным образом связаны с поведением траекторий в X(все эти И.

М. Сосредоточены на так наз. Минимальном центре притяжения [3]). Не приходится рассчитывать на более подробные утверждения о свойствах И. М. В общем случае - они могут быть совсем различными. Так, в одном случае эргодич. И. М. Может быть сосредоточена в одной точке, в другом - быть положительной для всех открытых подмножеств Xи обладать свойствами "квазислучайного" характера (перемешивание, положительная энтропия и т. Д.), описание и исследование к-рых относится к эргодич. Теории (тогда как обращение к последней в предыдущем случае было бы бессодержательным). Поэтому имеется ряд исследований о существовании И. М. С теми или иными интересными свойствами у динамич. Систем того или иного специального типа. Наконец, возможна чисто метрич.

Постановка вопроса об И. М. Пусть динамич. Система имеет квазиинвариантную меру m. Существует ли у нее И. М. V, эквивалентная m. (Обсуждение этой постановки вопроса см. В [7]. О другой постановке см. [8]). Ответ в общем случае отрицательный, даже если требовать только s-конечности v, a- Лебега пространство [9]. Известны различные варианты необходимых и достаточных условий существования конечной И. М. Наиболее удачными представляются условия Хаджана И Какутани [10], [8]. Д. В. Аносов, 2) И. М. В теории вероятностей определяется относительно переходной вероятности. Пусть - измеримое пространство, где Аесть s-алгебра, и Р( х, А), - переходная вероятность (т. Е. Р( х, Х), есть вероятностная мера на при каждом и Р(Х, А)- измерима относительно при каждом .

Счетно-аддитивная мера m, на наз. Инвариантной относительно Р, если Если Т- измеримое отображение в себя, то мера m инвариантна относительно Ттогда и только тогда, когда она инвариантна относительно переходной вероятности Р( х, А) = cT(x)(A), где c у(A)=1 при и c у (А) = 0 при Лит. [1] Боголюбов Н. Н., Избр. Труды, т. 1, К., 1969, с. 411-463. [2] Окстоби Дж., "Успехи матем. Наук", 1953, т. 8, в. 3, с. 75-97. [3] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949. [4] Боголюбов Н. Н., Избр. Труды, т. 1, К., 1969, с. 561 - 69. [5] Фомин С. В., "Матем. Сб.", 1943, т. 12, №1, с. 99-108. [6] его же, "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1950, т. 14, № 3, с. 261 - 74. [7] Xалмош П. Р., Лекции по эргодической теории, пер.

С англ., М., 1959. [8] Владимиров Д. А., Булевы алгебры, М., 1969. [9] Ornstein D. S., "Bull. Amer. Math. Soc", 1960, v. 66, №4, p. 297-300. [10] Hayian A., Kakutani S h., "Trans. Amer. Math. Soc", 1964, v. 110, p. 136-51. [11] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. С франц., М., 1969. [12] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. С англ., М., 1962. [13] Иосида К., Функциональный анализ, пер. С англ., М., 1967. В. В. Сазонов.