Контурного Интегрирования Метод

- один из основных методов геометрич. Теории функций комплексного переменного, позволяющий получать различные неравенства, выражающие экстремальные свойства однолистных и многолистных функций, а также тождества, связывающие основные функции областей теории конформного отображения. Метод существенно связан с использованием свойств функций, конформно отображающих данную область на различные канонические области. С помощью таких функций можно строить функции области, обладающие следующим контурным свойством. На каждой граничной компоненте области значения функции разнятся на аддитивную постоянную от комплексно сопряженных значений соответствующей другой функции. К. И. М. Состоит в основном в следующем. Рассматривается нек-рый интеграл, взятый по всему контуру данной области (обычно контур можно считать состоящим из конечного числа простых замкнутых аналитич.

Ривых). Этот интеграл выбирается так, чтобы подинтегральное выражение содержало множители с указанным выше контурным свойством и чтобы после использования этого свойства получался интеграл, вычисляемый с помощью теоремы о вычетах. Если из других соображений известны либо значение исходного интеграла, либо его знак, то в результате получается или нек-рое соотношение между использованными функциями, или нек-рое неравенство, связывающее их. Часто контурный интеграл, к к-рому удается применить указанный метод, появляется в результате преобразования по формуле Грина неотрицательного двойного интеграла - интеграла от квадрата модуля производной нек-рой функции, регулярной в данной области. Отсюда - связь К.

И. М. С площадей методом. С помощью К. И. М. Были получены результаты, касающиеся искажения теорем для однолистных конформных отображений многосвязных областей (см. [1], [2]). Необходимые и достаточные условия для коэффициентов однолистных функций (см. [3]). Тождества, связывающие основные функции областей теории конформного отображения (см. [4]). К. И. М. Применялся для исследования однолистных функций также в следующей форме. Пусть, напр., В- область плоскости wс контуром С, состоящим из конечного числа простых замкнутых аналитич. Ривых. S(w)- функция, гармоническая в полной плоскости wза исключением конечного числа точек области В. P(w)- функция, обладающая свойством. Разность S(w)- p(w)является гармонической в области Ви непрерывной в этой замкнутой области, p(w)|C=0.

Тогда где д/дп обозначает дифференцирование по направлению внешней нормали к области В. Если s(w)и q(w)- аналитич. Функции, для к-рых S= Re{s},p=Re {q}, то последнее неравенство может быть переписано в виде В этом неравенстве интеграл вычисляется по теореме о вычетах. Выбирая различные функции S(w)и p(w), надлежаще связанные с исследуемыми функциями, можно таким образом получать различные новые неравенства для однолистных функций (см. [5] -[7]). К. И. М. Успешно использовался и при исследовании неоднолистных конформных отображений. Так, этим методом был установлен ряд новых экстремальных свойств функций, мероморфных в многосвязной области и удовлетворяющих нек-рым дополнительным условиям (см. [8]). Получено обобщение на многосвязные области, на случай нескольких полюсов и на функции, р-листные в соответствующем обобщенном смысле теоремы площадей Голузина для функций, р-листных в круге (см.

[9]). Упомянутые выше функции области тесно связаны с Бергмана кернфункциями, и результаты, получаемые К. И. М., часто выражаются через них. Отсюда же следует связь К. И. М. С теорией ортонормальных систем аналитич. Функций. Лит.-[1] Grunsky H., "Schriften math. Semin. Und Inst. Angew. Math. Univ. Berlin", 1932, S. 95-140. [2] Голузин Г. М., "Матем. Сб.", 1937, т. 2, № 1, с. 37-63. [3] Grunsky H., "Math. Z.", 1939, Bd 45, S. 29-61. [4] Gаrаbedian P. R., Schiffer M., "Trans. Amer. Math. Soc", 1949 v. 65, №2, p. 187-238. [5] Nehari Z., "Trans. Amer. Math. Soc", 1953, v. 75, № 2, p. 256-86. [6] Аленицын Ю. Е., "Матем. Сб.", 1956, т. 39, № 3, с. 315-36. [7] его же, "Тр матем. Ин-та АН СССР", 1967, т. 94, с. 4-18. [8] Меsсhkowski H., "Math. Ann.", 1954, Bd 127, S. 107-29. [9] Аленицын Ю. Е., "Изв.

АН СССР. Сер. Матем.", ,1973, т. 37, в. 5, с. 1132-54. [10] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966, С. 221 - 26. Ю. Е. Аленицын..