Математическое Ожидание

среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. О. Случайной величины Х(w),определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере в исходном вероятностном пространстве М. О. Может быть вычислено и как интеграл Лебега от хпо распределению вероятностей Р Х величины X. где - множество всех возможных значений X. М. О. Функций от случайной величины Xвыражается через распределение Р Х:напр., если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная бо-релевская функция х, то Если F(x) - функция распределения X, то М. О. Представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса) при этом интегрируемость Xв смысле (*) равносильна конечности интеграла В частных случаях, если Xимеет дискретное распределение с возможными значениями х k, k=1, 2, .

., и соответствующими вероятностями то если Xимеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то при этом существование М. О. Равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла. Основные свойства М. О. а) б) ЕС=С для любого действительного С. в) для любых действительных a и b. г) если сходится ряд д) для выпуклых функции g(x). е) любая ограниченная случайная величина имеет конечное М. О. Кроме того, ж) для взаимно независимых случайных величин X1, ..., Х п. Естественным образом можно определить понятие случайной величины с бесконечным М. О. Типичным примером служат времена возвращения в нек-рых случайных блужданиях (см., напр., Бернулли блуждание).

С помощью М. О. Определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения (как М. О. Соответствующих функций от случайной величины), напр, производящая функция, характеристическая функция, моменты любого порядка, в частности дисперсия, ковариация. М. О. Есть характеристика расположения значений случайной величины (среднее значение ее распределения). В этом качестве М. О. Служит нек-рым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли статич. Момента - координаты центра тяжести распределения массы - в механике. От прочих характеристик расположения, с помощью к-рых распределение описывается в общих чертах,- медиан, мод, М. О. Отличается тем большим значением, к-рое оно и соответствующая ему характеристика рассеяния - дисперсия - имеют в предельных теоремах теории вероятностей.

С наибольшей полнотой смысл М. О. Раскрывается больших чисел законом (см. Также Чебышева неравенство )и больших чисел усиленным законом. В частности, для последовательности взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечными М. О.при для любого и, более того, с вероятностью единица. Понятие М. О. Как ожидаемого значения случайной величины впервые наметилось в 18 в. В связи с теорией азартных игр. Первоначально термин "М. О." был введен как ожидаемый выигрыш игрока, равный для возможных выигрышей и соответствующих вероятностей Особые заслуги в обобщении и использовании понятия М. О. В современном его значении имеет П. Л. Чебышев. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974.

[2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., 2 изд., тт. 1-2, М., 1967. [3] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. С англ., М., 1962. [4] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. С англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров..