Математической Физики Уравнения
- уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. Ф. У.- часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро- и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой физики, теории гравитации и т. Д.) описываются краевыми задачами для дифференциальных уравнений. Эти задачи составляют весьма широкий класс М. Ф. У. Для полного описания эволюции физич. Процесса, помимо уравнений, необходимо, во-первых, задать картину процесса в нек-рый фиксированный момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями - краевую задачу математич.
Физики. Ниже приведены нек-рые примеры уравнений и соответствующих краевых задач. Уравнение колебаний описывает малые колебания струн, стержней, мембран, акустические и электромагнитные колебания. В уравнении (1) пространственные переменные изменяются в области ,где развивается рассматриваемый физич. процесс. При этом в соответствии с физич. Смыслом входящих величин должно быть Кроме того, полагают . При этих условиях уравнение (1) - гиперболического типа уравнение. При уравнение (1) превращается в волновое уравнение где - оператор Лапласа. Уравнение диффузии описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде. Уравнение (3) - параболического типа уравнение. При уравнение (3) превращается в теплопроводности уравнение Для стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени t, уравнения колебаний (1) и диффузии (3) принимают вид Уравнение (5) - эллиптического типа уравнение.
При уравнение (5) наз. Пуассона уравнением. а при - Лапласауравнением Уравнениям (6) и (7) удовлетворяют различного рода потенциалы. Ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. Д. Если в волновом уравнении (2) внешнее возмущение f- периодическое с частотой w, то амплитуда периодич. Решения с той же частотой w удовлетворяет Гелъмгольца уравнению К уравнению Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Для полного описания процесса колебаний необходимо задать начальное возмущение и начальную скорость а для процесса диффузии - только начальное возмущение Кроме того, на границе Sобласти Gнеобходимо удовлетворить заданному режиму. В простейших случаях физически осмысленные граничные условия для уравнений (1), (3), (5) описываются соотношением где ки h- заданные неотрицательные функции, не обращающиеся в нуль одновременно, п- внешняя нормаль к поверхности Sи v- заданная функция.
Напр., для струны условие означает, что конец струны закреплен, а условий означает, что конец х 0 свободен. Для теплопроводности условие означает, что на границе Sобласти Gподдерживается заданный температурный режим, а условие задает поток тепла через S. В случае неограниченных областей, напр, внешности ограниченной области,, кроме условия на границе задается также условие на бесконечности. Так, для уравнения Пуассона (6) в пространстве (n=3) таким условием является условие а на плоскости ( п=2)- условие Для уравнения Гельмгольца (8) на бесконечности задаются излучения условия Зоммерфельда причем знак "-" соответствует расходящимся, а знак "+"- сходящимся волнам. Краевая задача, к-рая содержит только начальные условия (и стало быть, не содержит граничных условий, так что область G- все пространство Rn), наз.
Ноши задачей. Для уравнения колебаний (1) задача Коши (1), (9) ставится следующим образом. Найти функцию и( х, t )класса , удовлетворяющую уравнению (1) при i>0 и начальным условиям (9) на плоскости t=0. Аналогично ставится и задача Коши (3), (10) для уравнения диффузии (3). Если в краевой задаче присутствуют и начальные и граничные условия, то такая задача наз. Смешанной задачей. Для уравнения колебаний (1) смешанная задача (1), (9), (11) ставится так. Найти функцию и( х, t )класса удовлетворяющую уравнению (1) в цилиндре , начальным условиям (9) на его нижнем основании и граничному условию (11) на его боковой поверхности . Аналогично ставится смешанная задача (3), (10), (11) для уравнения диффузии (3).
Существуют и другие постановки краевых задач, напр. Гурса задача, Трикоми задача. Для стационарного уравнения (5) начальные условия отсутствуют и соответствующая краевая задача ставится так. Найти функцию класса удовлетворяющую уравнению (5) в области Gи граничному условию на границе S области G. Для уравнения (5) краевая задача с граничным условием наз. Дирихле задачей, а с граничным условием - Неймана задачей. Различают внешние и внутренние краевые задачи Дирихле и Неймана. Для внешних -задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечности типа (14), (15), (16). К краевым задачам для уравнения (5) относятся также задачи на собственные значения. Найти те значения параметра (собственные значения), при к-рых однородное уравнение имеет нетривиальные решения (собственные функции), удовлетворяющие однородному граничному условию Если G - ограниченная область с достаточно гладкой границей S, то существует счетное число неотрицательных собственных значений задачи {17), (18) каждое - конечной кратности, соответствующие собственные функции образуют полную ортонормированную систему функций в .
При этом всякая функция класса , удовлетворяющая граничному условию (18), разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе собственных функций {uk}. Изложенные постановки краевых задач предполагают достаточную гладкость решения как внутри области, так и вплоть до границы. Такие постановки краевых задач наз. Классическими. Однако во многих физически интересных задачах приходится отказываться от таких требований гладкости. Внутри области решение может быть обобщенной функцией и удовлетворять уравнению в смысле обобщенных функций, краевые условия могут удовлетворяться в каком-либо обобщенном смысле (почти везде, в L р, в слабом смысле и т. Д.). Такие постановки краевых задач наз. Обобщенными постановками, а соответствующие решения - обобщенными решениями.
Напр., обобщенная задача Коши для волнового уравнения ставится следующим образом. Пусть и- классич. Решение задачи Коши (2), (9). Функции uи f продолжаются нулем на t<0 и обозначаются через соответственно. Тогда функция ибудет удовлетворять в смысле обобщенных функций во всем пространстве волновому уравнению При этом начальные возмущения и 0 и и 1 играют роль мгновенно действующих внешних источников типа двойного слоя, и простого слоя,. Сказанное позволяет ввести следующее определение. Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником F=0 при t<0, наз. Задача об отыскании тех обобщенных решений волнового уравнения к-рые обращаются в нуль при t<0. Аналогично ставится обобщенная задача Коши и для уравнения теплопроводности (4).
Поскольку краевые задачи математич. Физики описывают реальные физич. Процессы, то они должны удовлетворять следующим естественным требованиям, сформулированным Ж. Адамаром (J. Hadamard). 1) Решение должно существовать в нек-ром классе функций М 1 . 2) Решение должно быть единственным в, возможно, другом классе функций М 2 . 3) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободных членов, коэффициентов уравнения и т. Д.). Требование непрерывной зависимости решения возникает в связи с тем, что данные физич. Задачи, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому необходимо быть уверенным в том, что решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений этих данных.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям 1)-3), наз. Корректно поставленной, а множество функций - классом корректности. Хотя требования 1)-3) на первый взгляд кажутся естественными, их, тем не менее, необходимо доказывать в рамках принятой математич. Модели. Доказательство корректности - это первая апробация математич. Модели,- модель непротиворечива, не содержит паразитных решений и мало чувствительна к погрешностям измерений. Нахождение корректных постановок краевых задач математич. Физики и методов построения их решений (точных или приближенных) и составляет одно из главных содержаний предмета М. Ф. У. Известно, что все перечисленные выше краевые задачи поставлены корректно. Пример. Задача Коши поставлена корректно, если .
Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий 1)-3), наз. некорректной задачей. Некорректные задачи приобретают в современной математич. Физике все возрастающее значение. Сюда в первую очередь относятся обратные задачи, а также задачи, связанные с обработкой и интерпретацией результатов наблюдений. Примером некорректно поставленной задачи может служить задача Коши для уравнения Лапласа (пример Адамара). Решение однако Для приближенного решения некорректных задач существует регуляризации метод, использующий дополнительную информацию о решении и сводящийся к решению ряда корректно поставленных задач. Важную роль в М. Ф. У. Играет понятие Грина функции. Функцией Грина линейного дифференциального оператора с заданными (однородными) краевыми условиями на границе области изменения переменных ( х, t )наз.
Функция удовлетворяющая при каждом из этой области уравнению В физич. Ситуациях функция Грина описывает возмущение от точечного (в точке ) мгновенного (в момент ) источника интенсивности 1 (с учетом неоднородности среды и краевого эффекта). В случае постоянных коэффициентов и отсутствия границы функция Грина при наз. Фундаментальным решением и обозначается Е( х, t). Доказано существование фундаментального решения из D' и S' для любого оператора Примеры фундаментальных решений. Волновое уравнение // .
Дополнительный поиск Математической Физики Уравнения
На нашем сайте Вы найдете значение "Математической Физики Уравнения" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Математической Физики Уравнения, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "М". Общая длина 31 символа