Матричное Дифференциальное Уравнение

- уравнение, неизвестной в к-ром является функциональная матрица, входящая в уравнение вместе со своей производной. Пусть рассматривается линейное М. Д. У. Вида где есть-матрица-функция с локально интегрируемыми по Лебегу элементами, и пусть X(t)- абсолютно непрерывное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию X(to) - I, I - единичная матрица. Тогда вектор-функция является решением линейной системы удовлетворяющим условию . Обратно, если и - решение системы (2), удовлетворяющее условию то функциональная матрица X(t), столбцами к-рой служат решения , является решением М. Д. У. (1). Если при этом векторы линейно независимы, то при всех Уравнение (1) является частным случаем следующего М. Д. У. (возникающего в теории устойчивости) Решение М.

Д. У. (3) с начальным условием дается равенством где U(t, s)- решение М. Д. У. (1) с условием X(s, s)=I, a V(t, s)- решение М. Д. У. X' = B(t)Xс условием X(s, s)=I. В различных прикладных задачах (теории стабилизации, оптимального управления, фильтрации управляемых систем и др.) большую роль играет т. Н. Матричное дифференциальное уравнение Риккати Напр., если матричное уравнение Риккати где означает транспонирование, имеет при ограниченное на прямой решение и для всех , всех и нек-рого выполнено неравенство , то любое решение управляемой системы замкнутой обратной связью удовлетворяет неравенству где - евклидова норма в , а постоянная Мне зависит от s. Лит.:[1] Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957.

[2] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970. [3] Аткинсон Ф. В., Дискретные и непрерывные граничные задачи, пер. С англ., М., 1968. [4] Reid W. Т., Riccati differential equations, N. Y.-L., 1972 (Math. Sci. And Eng., v. 88). [5] Захар-Иткин M. X., "Успехи матем. Наук", 1973, т. 28, в. 3, с. 83- 120. Е. Л. Тонков..