Метрика

расстояние на множестве X,- определенная на декартовом произведении функция р с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при. Любых условиям. 1)тогда и только тогда, когда (аксиома тождества). 2) (аксиома треугольника). 3) (аксиома симметрии). Множество X, на к-ром может быть введена М., наз. Метризуемым. Множество X, наделенное некоторой М., наз. Метрическим пространством. Примеры. 1) На любом множестве имеется дискретная метрика. 2) В пространстве возможны разные М., среди них. здесь 3) В римановом пространстве М. Определяется метрическим тензором или дифференциальной квадратичной формой (в нек-ром смысле это - аналог первой М. Из примера 2)). Обобщение М. Этого типа см. В ст. Финслерово пространство.

4) В функциональных пространствах над (би)компактом X также вводятся разные М., напр, равномерная метрика (аналог второй М., из примера 2)), интегральная метрика 5) В нормированном пространстве над М. Определяется через норму . В нормированном кольце - более сложная формула. 6) В метрич. Пространстве вводится другая М.- т. Н. Внутренняя метрика. 7) В пространстве замкнутых подмножеств метрич. Пространства определяется хаусдорфова метрика. Следует заметить, что в традиционном определении М. Условие 3) и требование неотрицательности излишни, т. Е. Вытекают уже из достаточности условия 1) и условия 2). Если вместо 1) выполняется лишь условие. , если (так что при не всегда ), функция наз. Псевдометрикой [2], [3], или отклонением [4].

М. (и даже псевдометрика) позволяет определить ряд дополнительных структур на множестве X. Прежде всего, это - топология (см. Топологическое пространство), кроме того - равномерная (см. Равномерное пространство )или близостная (см. Близости пространство )структуры. Термин М. Используется также и для обозначения более общих понятий, к-рые не обладают всеми свойствами 1) - 3), таковы, напр., индефинитная метрика, симметрика и т. Д. Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977. [2] Келли Д ж.-Л., Общая топология, пер. С англ., М., 1968. [3] Куратовский К., Топология, [пер. С англ.], т. 1, М., 1966. [4] Бурбаки Н., Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства.

Сводка результатов. Словарь, пер. С франц., М., 1975. М. И. Войцеховский..