Метрическая Транзитивность

динамической системы с ( квази) инвариантной мерой - свойство системы , состоящее в том, что любое измеримое подмножество Афазового пространства , инвариантное относительно (в том смысле, что оно совпадает со всеми своими прообразами ), либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает с W. Формально более сильный вариант этого свойства получится, если в определении вместо инвариантных множеств говорить о множествах, инвариантных по mod 0 (такое множество Апри любом t может отличаться от на множество меры нуль). Эти два варианта эквивалентны, если m, является -конечной и "время" пробегает локально компактную группу со счетной базой (см. Доказательство для потоков в [1]), но для произвольных групп преобразований это не так (см.

Пример, приведенный по другому поводу, в [2]). Вместо М. Т. Говорят также о метрической неразложимости, или эргодичности. Если у данной системы рассматривается несколько (квази) инвариантных мер и m - одна из них, то, вместо того чтобы говорить о М. Т. (эргодичности) системы по отношению к мере , говорят о М. Т. (эргодичности) меры m. Разложимость нормированной инвариантной меры m естественно понимать иначе - как возможность представления m в виде где - нормированные инвариантные меры, отличные от m , и . Неразложимость m эквивалентна второму (более сильному) варианту М. Т. (см. [2], [3]). Если в Wвведена топология, то при естественных предположениях (см. Обсуждение для потоков в [1]) из М. Т. Следует, что для почти всех траектория точки wвсюду плотна (в этом смысле из М.

Т. Следует топологическая транзитивность). Обратное неверно. Начиная с Дж. Неймана [4], получен ряд результатов о разложении неэргодич. Систем на эргодич. Компоненты. Традиционный в чисто метрич. Теории вариант (W- Лебега пространство, соответственно речь идет только об одной (квази) инвариантной мере) см. В [5], [6], [И]. Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов [7] получили для топологич. Потоков и каскадов с компактным метрическим Wболее сильные результаты двоякого рода (см. Также [8], [9]). 1) разложение инвариантных нормированных мер, совместимых с топологией, на эргодич. Меры. 2) "геометрическая" реализация сразу всех этих разложений посредством эргодических множеств. Относительно обобщения этих результатов на другие группы преобразований известно, что 1) справедливо в более широких предположениях, чем 2) (см.

[2], [3]). Имеются также аналогичные результаты для динамич. Систем (пока только каскадов и потоков) в подходящих измеримых пространствах и (или) для квазиинвариантных мер (см. [9] - [11]). М. Т. Разбиения пространства с мерой - свойство разбиения, состоящее в том, что любое измеримое подмножество ., целиком состоящее из элементов , либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает со всем W. Вместо М. Т. Говорят также об абсолютной неизмеримости . М. Т. Динамич. Системы, образованной группой преобразований, так что траектории образуют разбиение фазового пространства, совпадает с М. Т. Этого разбиения. Если же преобразования, образующие динамич. Систему, необратимы, то ее М. Т. Тоже сводится к М. Т. Нек-рого разбиения, хотя оно описывается сложнее.

Его элемент, содержащий нек-рую точку, состоит из всех ее образов и всех прообразов этих образов. Лит.:[1] Xопф Э., "Успехи матем. Наук", 1949, т. 4, в. 1, с. 113-82. [2] Фомин С. В., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1950, т. 14, № 3, с. 261-74. [3] Боголюбов Н. Н., Избр. Труды, т. 1, К., 1969, с. 561-69. [4] Neumann J., "Ann. Math.", 1932, v. 33, № 3, p. 587-642. № 4, p. 789-92. [5] Рохлин В. А., "Успехи матем. Наук", 1949, т. 4, в. 2, с. 57-128. [6] его же, "Матем. Сб.", 1949, т. 25, № 2, с. 235-49. [7] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., в кн. Боголюбов Н. Н., Избр. Труды, т. 1, К., 1969, с. 411-63. [8] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949. [9] Окстоби Дж., "успехи матем. Наук", 1953, т. 8, в. 3, с. 75-97. [10] Кифер Ю. И., Пирогов С. А., там же, 1972.

Т. 27, в. 1, с. 77-80. [11] их же, там же, в. 5, с. 239-40. Д. В. Аносов..