Метрический Тензор

основной тензор, фундаментальный тензор,- поле дважды ковариантного симметрич. Тензора на n-мерном дифференцируемом многообразии . Задание на М. Т. Вводит в касательном к в точке векторном пространстве скалярное произведение контравариантных векторов определяемое как билинейная функция где - значение поля gв точке р. В координатной записи. Метрика пространства с введенным в нем скалярным произведением принимается в бесконечно малом за метрику многообразия , что выражается в выборе дифференциальной квадратичной формы квадратом дифференциала длины дуги кривой , исходящей из рв направлении По ее геометрич. Смыслу форму (*) наз. Метрической, или первой основной, формой на , соответствующей М. Т. G. Обратно, если на задана симметрическая квадратичная форма вида (*), то ей сопоставляется поле дважды ковариантного тензора соответствующая метрич.

Форма к-рого совпадает с g. Таким образом, задание на М. Т. G равносильно заданию на метрики с квадратом линейного элемента вида (*). М. Т. Полностью определяет внутреннюю геометрию Совокупность М. Т. Gи . Определяемых ими метрик подразделяется на два класса - вырожденные метрики, когда и невырожденные, когда . Многообразие с вырожденной метрикой (*) наз. Изотропным. Среди невырожденных М. Т., в свою очередь, различаются риманов М. Т., для к-рого квадратичная форма (*) является положительно определенной, и псевдориманов М. Т., когда форма (*) является знакопеременной. Риманова (псев-дориманова) метрика, вводимая на через риманов (псевдориманов) М. Т., определяет на риманову (соответственно псевдориманову) геометрию. Обычно под М.

Т. Без специального на то указания понимается риманов М. Т. Но если, рассматривая невырожденный М. Т., хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом М. Т., то об этом М. Т. Говорят как о собственно римановом М. Т. Собственно риманов М. Т. Может быть введен на любом паракомпактном дифференцируемом многообразии. Лит.:[1] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. С англ., М., 1948. [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967. [3] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. С нем., М., 1971. И. X. Сабитов..