Минковского Неравенство

- 1) Собственно М. Н. Если действительные числа при i=l, . ., n и р>1, то Выведено Г. Минковским [1]. При неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать ). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки и пропорциональны. При р=2 М. Н. Наз. Неравенством треугольника. М. Н. Допускает обобщения в различных направлениях (они также носят названия неравенств Минковского ). Ниже приводятся нек-рые из них. 2) М. Н. Для сумм. Пусть для i=1, . ., пи j = 1, . ., ти р>1, тогда Знак неравенства меняется на обратный при р<1, и для полагается . В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки пропорциональны. Существуют также обобщения неравенств (1) на кратные и бесконечные суммы.

Однако при использовании предельных процессов особого внимания требует формулировка случаев возможного равенства (см. [2]). Неравенства (1) и (2) однородны относительно , и потому они имеют аналоги для различных средних, напр., если где то подробнее см. В [2]. 3) М. Н. Для интегралов аналогично неравенству (2) и имеет место опять же вследствие однородности относительно . Пусть - интегрируемые функции в нек-рой области относительно элемента объема dV, тогда при р>1 Естественно получается обобщение неравенства (3) для большего числа функций. Дальнейшее обобщение. Если k>1, то причем равенство имеет место лишь в случае 4) Другие неравенства типа М. Н. а) для произведений. Если ,то б) неравенство Малера.

Пусть F(x)- обобщенная норма в - ее полярная функция. Тогда где (Х, Х) - скалярное произведение. в) для определителей. Если А, В- неотрицательные эрмитовы матрицы над , то 5) Наконец, с именем Г. Минковского связываются и др. Неравенства, в особенности в выпуклом анализе и теории чисел, напр. Брунна- Минковского теорема. Лит.:[1] Minkowski H., Geometrie uer Zahlen, 1, Lpz., 1896, §. 115-17. [2] Xарди Г. Г., Литтльвуд Д ж., Полна Г., Неравенства, пер. С англ., М., 1948. [3] Беккен6ах Э. Ф., Беллман Р., Неравенства, пер. С англ., М., 1965. [4] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. С англ., М., 1972. М. И. Войцеховский..