Множество Типа

, -множество ( -множество),- объединение (пересечение) счетного числа замкнутых (открытых) множеств. См. Борелевское множество. А-МНОЖЕСТВО, аналитическое множество, в полном сепарабельном метрическом пространстве - непрерывный образ борелевского множества. Так как любое борелевское множество является непрерывным образом множества иррациональных чисел, то А-м. Можно определить как непрерывный образ множества иррациональных чисел. Счетное пересечение и счетное объединение А-м. Является А- м . Любое А-м. Измеримо в смысле Лебега. Свойство быть А- м . Инвариантно относительно измеримых по Борелю отображений, а также относительно А-операции. Более того, для того чтобы множество было А-м., необходимо и достаточно, чтобы оно представляло собой результат А-операции, примененной к нек-рой системе замкнутых множеств.

Существуют примеры А-м., к-рые не являются борелевскими. Так, в пространстве всех замкнутых подмножеств отрезка I действительных чисел множество замкнутых несчетных множеств является А-м., но не является борелевским. Любое несчетное А-м. Топологически содержит канторов совершенное множество. Таким образом, А-м. "реализует" континуум-гипотезу. Их мощность либо конечна, либо , либо . Для А-м. Справедливы Лузина принципы отделимости. Лит.:[1] Куратовский К., Топология, пер. С англ., т. 1, М., 1966. [2] Лузин Н. Н., Лекции об аналитических множествах и их приложениях, М., 1953. Б. А. Ефимив. СА -МНОЖЕСТВО -дополнение к А-множеству, лежащему в полном сепарабельном метрич. Пространстве X, т. Е. Есть СА-м., если является А-множеством или, другими словами, АС-м.

Есть проективное множество класса 2. Существует пример СА-м., не являющегося A-множеством. Любое A-множество является взаимно однозначным и непрерывным образом нек-рого СА-м. (теорема Мазуркевича). Точка уназ. Значением порядка 1 отображения f, если существует одна и только одна точка такая, что y=f(x). Значения порядка 1 В-измеримого отображения f произвольного борелевского множества образуют СА- м . (теорема Лузина). Имеет место и обратная теорема. Пусть С- нек-рое СА- м ., принадлежащее пространству X;тогда существует непрерывная функция f, определенная на замкнутом подмножестве пространства иррациональных чисел, такая, что Сесть множество точек порядка 1 функции f. Теорема Куратовского о редукции. Пусть дана бесконечная последовательность СА- м .

тогда существует такая последовательность непересекающихся СА- м .что и Лит.:[1] Куратовский К., Топология, пер. С англ., т. 1, М., 1966. Б. А. Ефимов..