Модулей Категория

- категория mod-R, объекты к-рой - правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей, а, морфизмы - гомоморфизмы R-модулей. Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в нек-рую М. К. Если - кольцо целых чисел, то mod-Rесть категория абелевых групп, а если, R = D-тело (поле), то mod-R есть категория векторных пространств над D. Свойства М. К. Mod-R отражают ряд важных свойств кольца R(см. Гомологическая классификация колец), с этой категорией связан ряд важных гомологич. Инвариантов кольца, в частности его гомологические размерности. Центр М. К. Mod-R (т. Е. Множество естественных преобразований тождественного функтора категории) изоморфен центру кольца R.

В теории колец, гомологич. Алгебре и алгебраич. K-теории изучаются различные подкатегории М. К., В частности подкатегория конечно порожденных проективных R-модулей и ассоциированные с ней K- функторы (см. Алгебраическая К-теория). По аналогии с двойственностью Понтрягина изучаются двойственности между полными подкатегориями М. К., в частности между подкатегориями конечно порожденных модулей. Напр., установлено, что если Rи S- нёте-ровы кольца и имеет место двойственность между конечно порожденными правыми R-модулями и конечно порожденными левыми S-модулями, то существует би-модуль такой, что данная двойственность эквивалентна двойственности, определяемой функторами кольцо эндоморфизмов изоморфно S, а изоморфно R, бимодуль U - конечно порожденный инъективный кообразующий (и как R-модуль, и как S-модуль), кольцо Rполусовершенно.

Наиболее важным классом колец, возникающим при рассмотрении двойственности модулей, является класс квазифробениусовых колец. Артиново слева кольцо Rбудет квази-фробениусовым тогда и только тогда, когда отображение определяет двойственность категорий левых и правых конечно порожденных R-модулей. Лит.:[1] Басс X., Алгебраическая К-теория, пер. С англ., M.,1973. [2] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категории и функторов, пер. С англ., М., 1972. [3] Фейс К., Алгебра. Кольца, модули и категории, т. 1-2, пер. С англ., М., 1977 - 79. А. В. Михалев..