Морса Неравенства

- вытекающие из теории Морса неравенства, связывающие число критических точек функции Морса на многообразии с его гомологич. Инвариантами. Пусть f - Морса функция на гладком n-мерном многообразии (без края) М, имеющая конечное число критич. Точек. Тогда гомологии группыконечно порождены и потому определены их ранги и периодич. Ранги (периодический ранг абелевой группы Ас конечным числом образующих - минимальное число циклич. Групп, в прямую сумму к-рых может быть разложена максимальная периодич. Подгруппа группы А). М. Н. Связывают число критич. Точек функции , имеющих Морса индекс, с этими рангами, и имеют вид. При последнее М. Н. Всегда является равенством, так что где - эйлерова характеристика многообразия М.

М. Н. Имеют место и для функций Морса триад достаточно заменить группы группами относительных гомологии . Согласно М. Н. Многообразие, имеющее "большие" группы гомологии, не допускает функций Морса с малым числом критич. Точек. Замечательно, что даваемые М. Н. Оценки точны. На замкнутом односвязном многообразии размерности существует функция Морса, для к-рой М. Н. Являются равенствами (Смейла теорема, см. [2]). В частности, на любом замкнутом многообразии, гомотопически эквивалентном сфере , существует функция Морса с двумя критич. Точками, откуда непосредственно следует (см. Морса теория), что многообразие Мгомеоморфно сфере (см. Пуанкаре гипотеза). Аналогичное применение теоремы Смейла позволяет доказать и теоремы об h- и s-кобордизмах.

Аналоги М. Н. Имеют место также для функций Морса на бесконечномерных гильбертовых многообразиях и связывают (для любых регулярных значений функции f) числа лежащих в критич. Точек конечного индекса с рангом и периодич. Рангом группы где . Именно, При достаточно больших последнее неравенство становится равенством. Лит.:[l] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934. [2] Смейл С, "Математика", 1964, т. 8, № 4, с. 95-108. М. М. Постников, Ю. В. Рудяк..