Мотивов Теория

- обобщение различных теорий когомологий алгебраич. Многообразий. М. Т. Систематически обобщает идею использования якобиана алгебраич. Кривой Xв качестве замены когомологий в классич. Теории соответствий и использовании этой теории для изучения дзета-функции кривой Xнад конечным полем. М. Т. Универсальна в том смысле, что всякая геометрич. Теория когомологий типа классич. Сингулярных когомологий алгебраич. Многообразий над полем с постоянными коэффициентами, l-адических когомологий для различных простых чисел l, отличных от характеристики основного поля, кристаллич. Когомологий и т. П. (см. Вейля когомологий )является функтором на категории мотивов. Пусть - категория гладких проективных многообразий над полем - контравариантный функтор глобальной теории пересечений из в категорию коммутативных -алгебр, где - нек-рое фиксированное кольцо.

Напр., - кольцо Чжоу классов алгебраич. Циклов на Xпо модулю подходящего (рационального, алгебраического, численного и т. П.) отношения эквивалентности, или - кольцо Гротендика, или - кольцо классов когомологий четной размерности и т. Д. Категория и функтор позволяют определить новую категорию - категорию соответствий , объектами к-рой являются многообразия обозначаемые через , а морфизмы определяются формулой с обычным законом композиции соответствий (см. [1]). Пусть функтор Спринимает значения в категории коммутативных градуированных -алгебр , тогда категория будет -аддитивной категорией градуированных соответствий. Более того,будет обладать прямыми суммами и тензорными произведениями. Категория, объектами к-рой являются многообразия из , а морфизмами - соответствия степени 0, обозначается .

Из определен естественный функтор в , и функтор Спродолжается до функтора Тиз в . Категория , как и , не является абелевой. Рассматривается ее псевдоабелево пополнение - категория , к-рая получается из формальным добавлением образов всех проектеров р. Точнее, объектами являются пары , где и - это множество соответствий таких, что по модулю соответствий с Категория вкладывается впосредством функтора Естественный функтор наз. Функтором мотивных когомологий, а - категорией эффективных мотивов. Пусть , где е- класс любой рациональной точки на проективной прямой . Тогда Если - проективизация локально свободного пучка Еранга r на Y, то Вычислены также мотивы моноидального преобразования с неособым центром и мотивы кривых (см.

[1]), мотивы абелева многообразия (см. [2]) и мотивы гиперповерхностей Вейля. Категория мотивов получается из формальным добавлением отрицательных степеней мотива L. По аналогии с l-адическими когомологиями,наз. Мотивом Тейта. Операция тензорного умножения на мотив Тназ. Скручиванием с помощью мотива Тейта. Скручивание позволяет определить понятие уровня мотива, как в l-адических когомологиях. Любой функтор кого-мологий Вейля пропускается через функтор Имеется гипотеза, что в нек-ром смысле не зависит от теории пересечений Си что сам функтор является (универсальной) теорией когомо-логий Вейля. Эта гипотеза тесно связана со стандартными гипотезами Гротендика (см. [5]) об алгебраич. Циклах (также пока, 1982, не доказанными).

Лит.:[1] Манин Ю. И., "Матем. Сб.", 1968, т. 77, № 4, с. 475-507. [2] Шерменёв А. М., "Успехи матем. Наук", 1971, т. 26, № 3, с. 215-16. [3] Dоmazurе М., Motives des varietes algebrique, Sem. Bourbaki, 365, P., 1969. [4] Кleiman S. L., Motives, "Proceeding of the 5-th Nordic Summer-School in Math. Algebraic geometry", Oslo, 1970, p. 52-82. [5] eго же, Algebraic cycles and the Weil conjectures, в кн. Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Amst. - P., 1968. В. А. Псковских..