Мультипликативный Интеграл

- предел произведений вида где - непрерывная на отрезке функция со значениями в пространстве ограниченных операторов в банаховом пространстве - разбиение отрезка точками Предел берется, когда диаметр разбиения и обозначается Если операторы коммутируют при различных t, то М. И. Является удобной формой представления эволюционного оператора для дифференциального уравнения (см. [1]). При этом Произведение, пределом к-рого является последний М. И., также является эволюционным оператором для уравнения с кусочно постоянным оператором при Если и - две непрерывные оператор-функции, то справедлива формула где знак над произведением означает, что множители с меньшими номерами пишутся правее множителей с большими.

Формулы (1), (2) допускают обобщения на нек-рые классы дифференциальных уравнений с неограниченными оператор-функциями, откуда получаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными параболического и шрёдингерова типов в виде интегралов по траекториям (континуальных интегралов) (см. [2]). Формулы типа (2) лежат также в основе нек-рых численных методов решения уравнений. Если - скалярная непрерывная функция, а операторнозначная непрерывная функция ограниченной вариации, то существует предел наз. Мультипликативным интегралом Стилтьеса. Эти интегралы нашли применение в теории J-нерастягивающих матриц и операторов (см. [3], [4]). Лит.:[1] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970.

[2] Далецкий Ю. Л., "Успехи матем. Наук", 1962, т. 17, в. 5, с. 3-115. [3] Потапов В. П., "Тр. Моск. Матем. Об-ва", 1955, т. 4, с. 125-236. [4] Гинзбург Ю. П., "Матем. Исследования", (Киш.), 1967, т. 2, № 2, с. 52-83. С. Г. Крейн..