Обобщенные Почти Периодические Функции

- множество тех и только тех точек, ни в какой окрестности к-рых обобщенная функция не обращается в нуль Обобщенная функция из обращается в нуль в открытом множестве если для всех . С помощью разложения единицы показано, что если обобщенная функция из обращается в нуль в нек-рой окрестности каждой точки то обращается в нуль в О. Объединение всех окрестностей, где обращается в нуль, наз. Нулевым множеством обобщенной функции и обозначается . Носитель , обозначаемый supp f, есть дополнение к д..

- слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция. Обобщенная (слабая) производная порядка определяется равенством Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из . Если при всех таких, что Имеют место следующие свойства О. Ф. П. Операция линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле). Дифферен..

..

произведение обобщенной функции с функцией определяемое равенством при атом и для (обычных) функций из произведение совпадает с обычным умножением функций и Примеры. 1) Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной, иначе было бы противоречие. Чтобы определить произведение двух обобщенных функций и , достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами. Насколько f "нерегулярна" в окрестнос..