Обобщенных Функций Произведение

произведение обобщенной функции с функцией определяемое равенством при атом и для (обычных) функций из произведение совпадает с обычным умножением функций и Примеры. 1) Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной, иначе было бы противоречие. Чтобы определить произведение двух обобщенных функций и , достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами. Насколько f "нерегулярна" в окрестности произвольной точки, настолько gдолжна быть "регулярной" в этой окрестности и наоборот, напр, если sing supp (см. Обобщенной функции носитель). В нек-рых классах обобщенных функций их произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным.

Пример ы. 3) Граничные значения из алгебры голоморфных функций Н(С)(одночастотные обобщенные функции). Они образуют алгебру, ассоциативную и коммутативную с единицей [2]. 4) где с- произвольная постоянная. Действительно, Но на основных функциях таких, что , Поэтому естественно положить если , . Расширяя этот функционал на все основные функции из D, получают 4). 5) Определить произведение . Функция не принадлежит к , однако она определяет регулярные обобщенные функции:из Их можно согласованно продолжить до обобщенных функций из , напр., взяв конечную часть по Адамару расходящегося интеграла (перенормировав его) Обобщенная функция (перенормированный функционал для ) зависит от произвольного параметра , Произвол в перенормировке таков.

Эти идеи привели к процедуре перенормировки амплитуд Фейнмана в квантовой теории поля. Перенормировочные константы (напр., массы и заряды) выступают как произвольные постоянные, аналогичные . Наиболее общее определение О. Ф. П. Дается в терминах волновых фронтов. Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51. [2] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976. [3] Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С, "Acta Math.", 1957, v. 97, p. 227-66. [4] Хепп К., Теория перенормировок, пер. С франц., М., 1974. В. С. Владимиров..