Обобщенных Функций Пространство

- пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа DFS. Пространство типа DFS есть индуктивный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа FS. Пространства типов FS и DFS- полные, сепарабельные, рефлексивные и монтелевские. В пространствах типов FS n DFS слабая и сильная сходимости совпадают. Примеры пространств основных и обобщенных функций. 1) Пространства S и S'. Пространство основных (быстро убывающих) функций состоит из -функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени .

Это пространство есть проективный предел последовательности банаховых пространств Sp , p=0, 1, . ., состоящих из -функций, с нормой причем вложение компактно. Sтипа FS. Сопряженное пространство (пространство обобщенных функций медленного роста) есть индуктивный предел последовательности банаховых пространств причем вложение компактно, так что тина DFS. Из (слабой) сходимости последовательности обобщенных функций в S следует сходимость по норме функционалов в нек-ром S'p. В пространствах и операция преобразования Фурье есть изоморфизм. 2) Пространства и (О - открытое множество в ). Пространство основных функций состоит из финитных в О -функций (см. Обобщенной функции носитель). Оно снабжается топологией строгого индуктивного предела (возрастающей) последовательности пространств типа , где - строго возрастающая последовательность открытых множеств, исчерпывающая Пространство есть проективный предел (убывающей) последовательности банаховых пространств состоящих из функций с носителем в , с нормой причем вложение компактно.

Пусть - пространство, (сильно) сопряженное с D(О). . Последовательность основных функций из сходится в , если она сходится в каком-либо пространстве . Последовательность обобщенных функций из D' (О)сходится в D' (О), если она сходится на каждом элементе из D(О)(слабая сходимость). Для того чтобы линейный функционал на D(О)был обобщенной функцией из D' (О), необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества существовали числа Ки ттакие, что Пространство - (слабо) полное. Если последовательность обобщенных функций такова, что для любой из D(О)числовая последовательность сходится, то функционал принадлежит D' (О). Обобщенная функция из D' (О)имеет произвольный "рост" в окрестности границы дО, в частности любая функция определяет обобщенную функцию из по формуле 3) Пространства .

Пусть - банахово пространство, состоящее из всех функций голоморфных в трубчатой области с нормой вложение компактно. Пусть Ф - индуктивный предел (возрастающей) последовательности пространств Пространство Ф типа DFS, а его сопряженное Ф' типа FS. Элементы Ф являются Фурье - гиперфункциями. Ф' изоморфно также пространству Лит.:[1] Schwartz L., Theoric dcs distributions, t. 1-2, P., 1950-51. [2] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. С франц., М., 1959. [3] Дьёдонн е Ж., Шварц Л., "Математика", 1958, т. 2, №2, с. 77- 107. [4] Гротендик А., там же, № 3, с. 8!-127;[5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958. [6]Yoshinaga К., "J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A", 1957, v.

21, p. 89-98. [7] Кawai Т., "J. Fас. Sci. Univ. Tokyo Sec. 1A", 1970, v. 17, p. 467-517. [8] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической фивике, 2 изд., М., 1979. В. С. Владимиров..