Операторная Топология

топология в пространстве L(E, F).непрерывных линейных отображений одного топологического векторного пространства Ев другое топологии, пространство F, превращающая пространство L(E, F).в топологическое векторное пространство. Пусть F - локально выпуклое пространство и - такое семейство ограниченных подмножеств пространства Е, что линейная оболочка объединения множеств этого семейства плотна в Е;пусть - базис окрестностей нуля в F. Семейство где Sпробегает , а Vпробегает , является базисом окрестностей нуля для единственной инвариантной относительно сдвигов топологии, к-рая является О. Т. И превращает пространство L(E, F). В локально выпуклое пространство. Эта топология наз. -топологией на L( Е, F).

Примеры. Г. Пусть Е, F - локально выпуклые пространства. 1) пусть - семейство всех коночных подмножеств в Е, соответствующая -топология (в L( Е, F)).наз. Топологией простой (или поточечной) сходимости. 2) пусть - семейство всех выпуклых закругленных компактных подмножеств Е, соответствующая топология наз. Топ о-логией выпуклой закругленной компактной сходимости. 3) пусть - семейство всех предкомпактных подмножеств Е, соответствующая -топология наз. Топологией предкомпактной сходимости. 4) пусть - семейство всех ограниченных подмножеств, соответствующая топология наз. Топологией ограниченной сходимости. II. Если Е, F - банаховы пространства, рассматриваемые одновременно в слабой или сильной (нормированной) топологии, то соответствующие пространства L(E, F).алгебраически совпадают.

Соответствующие топологии простой сходимости наз. Слабой и сильной О. Т. В L(E, F). Сильная О. Т. Мажорирует слабую О. Т. Обе они согласуются с двойственностью между L(E,F).и пространством функционалов на L(E, F).вида , где , AL(E, F). III. Пусть Е, F - гильбертовы пространства и , - счетные прямые суммы гильбертовых пространств Е n, Fn соответственно, где Е п=Е, Fn=F для всех натуральных n. Пусть y - вложение пространства L(E, F).в , определенное условием. Для любого оператора ограничение оператора y(А).на подпространство ЕД переводит Е п в Fn и совпадает на Е п с оператором А. Тогда полный, прообраз в L(E, F).слабой (сильной) О. Т. В наз. Ультраслабой (соответственно ультрасильной) О. Т. В L(E, F). Ультраслабая (ультрасильная) топология мажорирует слабую (сильную) О.

Т. Симметричная подалгебра алгебры L(E).всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Е, содержащая единичный оператор, тогда и только тогда совпадает с множеством всех операторов из L(E), перестановочных с каждым оператором из L(E), перестановочным со всеми операторами из , когда замкнута в слабой (или сильной, или ультраслабой, или ультрасильной) О. Т., то есть является Неймана алгеброй. Лит.:[1] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. С англ., М., 1971. [2] Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. С англ., М., 1%2. [3] Н а и м а р к М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968. [4] S a k a i S., C*-algebras and W*-algebras, В., 1971. А. И. Штерн.