Параболическая Подгруппа

1) П . п. Линейной алгебраич. Группы G, определенной над нолем k,- замкнутая в Зариского топологии, подгруппа такая, что факторпространство G/P является проективным алгебраич. Многообразием. Подгруппа тогда и только тогда является П. П., когда она содержит какую-нибудь Бореля подгруппу группы G. Параболической подгруппой группы Gk, k- рациональных точек группы G наз. Подгруппа , являющаяся группой k-рациональ-ных точек нек-рой П. П. Рв G и плотная в Рв топологии Зариского. Если chark=0 и - алгебра Ли группы G, то замкнутая подгруппа тогда и только тогда является П. П., когда ее алгебра Ли является параболической подалгеброй в. Пусть G - связная редуктивная линейная алгебраич. Группа. Минимальные k-замкнутые (т.

Е. Определенные над k).П. П. Играют в теории таких групп для произвольного основного поля kту же роль, что подгруппы Бореля для алгебраически замкнутого поля k(см. [1]). В частности, любые две минимальные k-замкнутые П. П. Группы G сопряжены над k. Если две k-замкнутые П. П. Группы G сопряжены над каким-нибудь расширением поля k, то они сопряжены и над k. Множество классов сопряженных П. П. (соответственно множество классов сопряженных k-замкнутых П. П.) группы G состоит из 2r (соответственно 2rk) элементов, где r - ранг коммутанта (G, G) группы G, а rk - его k-ранг, равный размерности максимального расщепимого над kтора в (G, G). Точнее, каждый такой класс определяется нек-рым произвольным подмножеством множества простых корней (соответственно простых k-корней) группы G аналогично тому, как каждая параболич.

Подалгебра редуктивной алгебры Ли сопряжена одной из стандартных подалгебр (см. [2], [4]). Всякая П. П. Ргруппы G связна, совпадает со своим нормализатором и допускает разложение Леви, т. Е. Может быть представлена в виде полупрямого произведения своего унипотентного радикала и нек-рой k-замкнутой редуктивной подгруппы, наз. Подгруппой Лев и группы Р. Любые две подгруппы Леви в П. П. Р сопряжены посредством рационального над kэлемента группы Р. Две П. П. Группы G наз. Противоположными, если их пересечение является подгруппой Леви в каждой из них. Замкнутая подгруппа группы G тогда и только тогда является П. П., когда она совпадает с нормализатором своего уншютентного радикала. Всякая максимальная замкнутая подгруппа группы G либо является П.

П., либо имеет редуктивную связную компоненту единицы (см. [2], [4]). П. П. В группе GLn(k).невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем kисчерпываются подгруппами P(v), состоящими из всех автоморфизмов пространства V, которые сохраняют фиксированный флаг типа v= (n1, п 2, . ., nt) в V. При этом фактор пространство GLn(k)/P(v).совпадает с многообразием всех флагов типа v в пространстве V. В случае, когда - замкнутые П. П. Допускают следующую геометрич. Интерпретацию (см. [5]). Пусть - некомпактная полупростая вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой алгебраич. Группы G. Подгруппа группы тогда и только тогда является П. П., когда она совпадает с группой движений соответствующего некомпактного симметрич.

Пространства М, сохраняющих нек-рый k-пучок геодезич. Лучей в М(два геодезич. Луча в Мсчитаются принадлежащими одному k-пучку, если расстояние между двумя точками, движущимися с одинаковыми постоянными скоростями вдоль этих лучей в бесконечность, стремится к конечному пределу). 2) П. И. Системы Титсa (G, В, N, S).- подгруппа группы G, сопряженная подгруппе, содержащей В. Каждая П. П. Совпадает со своим нормализатором. Пересечение любых двух П. П. Содержит подгруппу группы G, сопряженную с . В частности, П. П. Системы Титса, связанной с редуктивной линейной алгебраич. Группой G,- это то же, что П. П. Группы G (см. [3], [4]). Лит.:[1] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967, т. 11, М 1, с. 43-111. [2] их же, там же, 1972, т. 16, № 3, с.

3-12. [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картава, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. С франц., М., 1978. [4] Хамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. [5] Карпелевич Ф. И., "Труды Моск. Матем. Об-ва", 1985, т. 14, с. 48-185. В.