Плюрисубгармоническая Функция

действительная функция u=u(z),, п комплексных переменных z=(zl,. ., zn).в области Dкомплексного пространства , удовлетворяющая следующим условиям. 1) и(z) полунепрерывна сверху всюду в D;2) u(z0+la). Есть субгармоническая функция переменного __ в каждой связной компоненте открытого множества для любых фиксированных точек . Функция v(z).наз. Плюрисупергарионической функцией, если - v(z) есть П. Ф. Плюрисубгармонич. Функции при n>1 составляют правильный подкласс класса субгармонич. Функций, а при n=1 эти два класса совпадают. Наиболее важные примеры П. Ф. Ln|f(z)|, ln + |f(z)|, |f(z)|p, , где f(z) - голоморфная функция в D. Для того чтобы полунепрерывная сверху в области функция , была П. Ф., необходимо и достаточно, чтобы для любых фиксированных , |а| = 1 существовало число d=d(z, a)>0 такое, что при 0<r<d выполняется неравенство Для функций u(z).класса С 2(D) более удобен следующий критерий.

U(z) есть П. Ф. В D тогда и только тогда, когда эрмитова форма (гессиан функции и) неотрицательно определена в каждой точке Помимо общих свойств субгармонич. Функций, для П. Ф. Справедливы следующие. 1) u(z) есть П. Ф. В области Dтогда и только тогда, когда u(z) - П. Ф. В окрестности каждой точки . 2) линейная комбинация П. Ф. С положительными коэффициентами есть П. Ф. 3) пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей П. Ф. Суть П. Ф. 4) для того чтобы u(z).была П. Ф. В области D, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде предела убывающей последовательности П. Ф. Соответственно классов , где области таковы, что и . 5) для любой точки среднее значение по сфере радиуса r, где s2n=2pn/( п-1).

- площадь единичной сферы в , есть возрастающая функция по r, выпуклая относительно lnr на отрезке , если шар расположен в D, причем . 6) при голоморфных отображениях П. Ф. Переходит в П. Ф. 7) если u(z).- непрерывная П. Ф. В области D, Е - замкнутое связное аналитич. Одмножество Dи сужение и|Е достигает максимума на Е, то u(z) = const на Е. Имеют значение для приложений также следующие правильные подклассы класса П. Ф. Функция u(z) наз. Сильно плюрисубгармонической, если существует выпуклая возрастающая функция такая, что j-1(u(z)).есть П. Ф. В частности, если j(t)= е t, то получают логарифмически плюрисубгармонические функции. Класс П. Ф. И только что названные его подклассы важны для описания различных свойств голоморфных функций и областей комплексного пространства , а также и более общих аналитич.

Ространств (см. [1] - [4], [7]). Напр., класс функций Гартогса Н(D).определяется как. Наименьший класс действительных функций в области D, содержащий все функции ln|f(z)|, где f(z) - голоморфная функция в D, и замкнутый относительно следующих операций. Полунепрерывные сверху функции Гартогса являются П. Ф., но не всякая П. Ф. Есть функция Гартогса. Если D - область голоморфности, то классы полунепрерывных сверху функций Гартогса и П. Ф. В Dсовпадают (см. [5], [6]). Лит.:[1] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1904. [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. С англ., М., 1989. [3] Lеlоng Р., в кн. Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, P., 1953, p.

21-40. [4] Bremermann H. J., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1956, v. 82, p. 17-51. [5] его же, "Math. Ann.", 1956, Bd 131, p. 76-86. [6] его же, "Рrос. Amer. Math. Soc.", 1956, v. 7, p. 771-75. [7] Соломенцев Е. Д., в кн. Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1982, М., 1964, с. 83-100. Е. Д. Соломенцев.