Последовательность

элементов заданного множества - функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений к-рой содержится в рассматриваемом множестве. Элементом, или членом, последовательности , где N - множество натуральных чисел, X - заданное множество, наз. Упорядоченная пара , к-рая обозначается через х n. Натуральное число n наз. Номером элемента последовательности х п, а элемент - его значением. Последовательность обычно обозначается через {х п} или х п, п= 1, 2, . Множество элементов П. Всегда счетно, причем два различных члена П. Отличаются по крайней мере номерами. Множество значений элементов П. Может быть и конечным. Так, множество значений всякой стационарной П., т. Е. Последовательности {xn}, все элементы к-рой имеют одно и то же значение.

х п=а, n=1, 2, . ., состоит из одного элемента. Если n1<n2, то член xn1 последовательности {х п} наз. Предшествующим члену х п2, а член х п2 - следующим за членом xn1. Таким образом, множество элементов П. Упорядочено. Того или иного рода П. Встречаются в различных разделах математики и с их помощью описываются многие свойства изучаемых объектов. Напр., если X - топологич. Пространство, то среди П. Его точек важную роль играют сходящиеся П., т. Е. П., к-рые имеют предел в этих пространствах. В терминах сходящихся П. Удобно (во всяком случае, при наличии счетной базы) описывать свойство компактности, существование предела отображения, его непрерывность и т. П. Если все элементы П. Нек-рых объектов (точек, множеств, отображений и т.

Д.) обладают каким-либо свойством, то часто бывает нужным выяснить, сохраняется ли это свойство для предела П. Напр., выяснить, как ведут себя свойства измеримости, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости при предельном переходе для различных видов сходимости функций (поточечной, почти всюду, равномерной, по мере, в среднем и т. П.). Иногда отображение конечного множества натуральных чисел в множество Xназ. Конечной П. И обозначается через { х 1, х 2, . .., х п}, где xn=f(k), k=1, 2, . ., п. П. Может задаваться формулой ее общего члена (напр., П. Членов арифметич. Прогрессии), рекуррентной формулой (напр., П. Чисел Бернулли) или просто словесным описанием с той или иной степенью эффективности (напр., П.

Всех простых натуральных чисел в порядке их возрастания). См. Также Двойная последовательность, Кратная последовательность. Обобщением понятия П. Является направленность. Л. Д. Кудрявцев.