Последования Отображение

для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V - отображение Т, сопоставляющее точке первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v, для к-рых такое пересечение имеется). (Гиперповерхность Vназ. При этом сечением, секущей поверхностью, трансверсалью.) Когда размерность dim V=l (так что {St} - поток на плоскости или двумерной поверхности. В этом случае Vназ. Также дугой без контакта) и Vпараметризована числовым параметром s, то смещение точек Vпод действием П. О. Описывается нек-рой числовой функцией f одного переменного (если vотвечает значению параметра s, то Tv - значению параметра s+f(s)), к-рая наз.

Функцией последования. Впервые П. О. Использовал А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]), поэтому иногда П. О. Наз. Отображением Пуанкаре. Если любая полутраектория пересекает V, то П. О. (определенное в данном случае на всем V).в значительной степени определяет поведение всех траекторий потока. Однако такие "глобальные" сечения существуют далеко не всегда (в частности, у гамильтоновой системы на многообразии постоянной энергии, не проходящем через критич. Точки гамильтониана, т. Е. равнове сия положения, нет заткнутых - как многообразия - глобальных сечений. См. [3] гл. VIII, п. 4.7). Для неавтономной системы с периодической правой частью (*) возникает аналог П. О. Точке хсопоставляют точку Tx=j(t, х), где j (t, x) - решение системы (*) с начальным значением j(0, х)=х.

Это "отображение сдвига на период" можно даже формально рассматривать как П. О., если (*) рассматривать как автономную систему в "цилиндрическом" фазовом пространстве. Отображение Топределено всюду, если решения системы (*) определены при всех t. Чаще приходится иметь дело с "локальным" сечением - его пересекает только часть траекторий и нередко только часть пересекающих его траекторий вновь возвращается на V. Примером может служить маленькая гладкая "площадка" коразмерности один, трансверсально пересекающая нек-рую замкнутую траекторию L. В этом случае П. О. Определено вблизи и характеризует поведение траекторий вблизи L. В теории слоений также вводится П. О. (см. [2]), являющееся обобщением предыдущего примера (и охватывающее также П.

О. Для обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области). Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. С франц., М., 1947. [2] Тамура И., Топология слоений, пер. С япон., М., 1979. [3] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. С франц., М., 1973. Д. В. Аносов.