Потенциалов Метод

- метод исследования краевых задач для уравнений математич. Физики путем сведения их к интегральным уравнениям, основанный на представлении решений этих задач в виде (обобщенных) потенциалов. Пусть в пространстве , задано дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка эллиптич. Типа с достаточно гладкими коэффициентами а ij=а ji=aij(x). Ei=ei(x), c(x)0 и правой частью f(x), причем с(x)<-k2<0 вне нек-рой ограниченной области, содержащей внутри область Dкласса C1. Тогда любое решение и(х).уравнения (1) класса можно представить в виде суммы трех (обобщенных) потенциалов. Потенциала объемных масс (2) потенциала простого слоя (3) и потенциала двойного слоя (4) где S=дD - граница области D, Е( х, у) - главное фундаментальное решение оператора L, символ Qy обозначает оператор действующий в точке , N - единичный вектор конормали в точке , v - единичный вектор внешней нормали к Sв точке .

Плотности потенциалов r(y), s(у).и m(у) - достаточно гладкие функции на Dили S. Для потенциалов (2) - (4) остаются в силе, с соответствующими изменениями, все дифференциальные и граничные свойства гармонич. Потенциалов, описанные в ст. Потенциала теория для случая, когда L - оператор Лапласа. На основании этих свойств удается свести краевые задачи для эллиптич. Уравнений типа (1) к интегральным уравнениям, аналогично тому, как это было описано для задач Дирихле и Неймана для гармонич. Функций в ст. Потенциала теория. Лит.:[1] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. С итал., М., 1957. [2] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966. [3] Владимиров В.

С., Уравнения математической физики, 4 изд., М.,. 1981. [4] Купрадзе В. Д., Методы потенциала в теории упругости, М., 1903. [5] Милн - Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. С англ., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.