Притяжения Область

устойчивого распределения - совокупность всех функций распределения Р(х).таких, что для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2,. С функцией распределения F(х). При подходящем подборе постоянных А п и В n>0, n=1, 2, . ., распределения случайных величин (*) слабо сходятся при к невырожденной функции распределения V(x), к-рая с необходимостью оказывается устойчивой. Одной из основных задач теории устойчивых законов является описание П. О. Устойчивых законов. Так, для нормального распределения в 1935 А. Я. Хинчиным, В. Феллером (W. Feller) и П. Леви (P. Levy) было установлено, что F(х).принадлежит П. О. Нормального закона тогда и только тогда, когда при Позже Б. В. Гнеденко (1939) и В.

Дёблин (W. Doeblin, 1940) дали описание П. О. Устойчивого закона с показателем a, 0<a<2. Для принадлежности F(х).П. О. Невырожденного устойчивого закона V(х).с показателем а необходимо и достаточно, чтобы при для нек-рых , определяемых по V(x), и при при каждом постоянном t>0. Ограничение на характер поведения нормирующих коэффициентов В п, п=1,2, . ., приводит к уменьшению совокупности функций распределения, для к-рых имеет место сходимость по распределению для последовательности (*). Совокупность функций распределения F(x), для к-рых функции распределения последовательности случайных величин (*) при подходящем выборе последовательности А п, п=1,2, . ., постоянной с>0 и В n=cn-1/a, п=1,2, .

., слабо сходятся к устойчивой функции распределения V(х).с показателем a, наз. Областью нормального притяжения V(x). Нормальная П. О. Нормального распределения совпадает с совокупностью невырожденных распределений с конечной дисперсией. Нормальная П. О. Невырожденной устойчивой функции распределения V(х).с показателем a (0<a<2) образована функциями F(x).такими, что существуют и конечны где с 1 и с 2 определяются устойчивым законом V(х). Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949. [2] Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965. [3] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972.

Б. А. Рогозин.