Проективная Схема

- замкнутая подсхема проективного пространства . В однородных координатах x0, . ., х п на проективная схема задается системой однородных алгебраич. Уравнений. Каждая П. С. Является полной (компактной в случае k=). Обратно, полная схема проективна, если на ней есть обильный обратимый пучок. Имеются и другие критерии проективности. Обобщением понятия П. С. Служит проективный мор-физм. Морфизм схем наз. Проективным (а X - схемой, проективной над Y), если Xявляется замкнутой подсхемой проективного расслоения , где - локально свободный -модуль. Композиция проективных морфизмов проективна. Проективность морфизма сохраняется и при замене базы. В частности, слои проективного морфизма являются проективными схемами (но не обратно).

Если схема Xпроективна, а - конечный сюръективный морфизм, то и Zпроективна. Любая П. С. (над Y) может быть получена при помощи конструкции проективного спектра. Ограничиваясь случаем аффинной базы, Y=Sрес R:пусть - градуированная R-алгебра, причем R-модуль A1 имеет конечный тип и порождает алгебру А, и пусть Proj (A)- множество однородных простых идеалов , не содержащих А 1. Снабженное естественной топологией и структурным пучком множество Proj (A).является проективной Y-схемой. Более того, любая проективная Y-схема имеет такой вид. Лит.:[1] Мамфорд Д., Алгебраическая геометрия, т. 1 - Комплексные проективные многообразия, пер. С англ., М., 1979. [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1-972, с.

47-112. В. И. Данилов.