Проективное Множество

множество, к-рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. М. Классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=ww- бэровское пространство (гомеоморфное пространству иррациональных чисел). Множество принадлежит. 1) классу А 1, если Ресть проекция борелевского множества пространства Im+1. 2) классу СА п (Ресть СА п- множество), если его дополнение Im Р есть An -множество . 3) классу А п (Ресть А n -множество), если Ресть проекция СА n-1 -множества пространства . 4) классу В п, если Рпринадлежит одновременно классам А п и СА n, . Те же классы получаются заменой проекции непрерывным образом (множества того же пространства I т).

В силу Суслина теоремы класс А 1 совпадает с классом А -множеств (следовательно, класс СА 1 - с классом СА-множесщв), а класс В 1 - с классом борелевских множеств. Для каждого класса А п построено универсальное множество, и при его помощи доказана следующая теорема о проективной иерархии (теорема "существования", теорема "о непустоте классов"). (следовательно, ), где каждое из включений - строгое. Мощность множества всех П. М. Пространства I. Равна . Каждое А 2 -множество - объединение борелевских множеств и, значит, счетно или имеет мощность или (см. [2], [7]). Для класса А 2 выполнены принципы униформизации и редукции, а для класса СА 2 - (первый) принцип отделимости. Каждый из проективных классов с номером инвариантен относительно А-операции.

Для каждого из классов А n, СА п существует ds-операция, дающая в точности все множества этого класса, исходя из замкнутых множеств. Изучение П. М. (даже второго класса) - трудная задача. Многие вопросы теории П. М. Оказались неразрешимыми в классич. Смысле, что полностью подтвердило предвидение (см. [6]). "область П. М. Есть область, где принцип исключенного третьего уже не применим". Теория П. М. Получила свое дальнейшее продвижение с привлечением сильных теоретико-множественных предположений, таких, как МС (существует измеримый кардинал), PD (аксиома проективной определимости), V=L. В предположении МС. Каждое А 2 - множество измеримо (по Лебегу), обладает Бэра свойством и, если несчетно, содержит (непустое) совершенное подмножество.

Каждое А 3 -множество может быть униформизировано А 4 -множеством. В предположении PD:1) каждой П. М. Измеримо, обладает свойством Бэра и, если несчетно, содержит совершенное подмножество, может быть униформизировано П. М., точнее. Принцип униформизации выполнен для классов A2n и СА 2п+1;2) для классов А 2n и CA2n+1 выполнен принцип редукции, следовательно, для классов А 2п+1 и СА 2п - принцип отделимости. В предположении V=L:1) существует несчетное СА- множество, не содержащее совершенного подмножества, и неизмеримое B2 -множество без свойства Бэра. 2) при для класса An выполнен принцип униформизации. Если для класса А п выполнен принцип униформизации, то выполнен и принцип редукции. При обратная импликация не доказуема в ZFC.

Если существует неизмеримое (или без свойства Бэра) А 2 -множество, то существует несчетное СА - множество, не содержащее совершенного подмножества. Если каждое несчетное СA -множество содержит совершенное подмножество, то это же верно для каждого несчетного А 2 -множества (см. [7]). Отмеченные результаты справедливы не только для пространства I, но и для числовой прямой и, вообще, для любого полного сепарабельного метрич. Пространства. Имеет место следующая теорема о топологич. Инвариантности П. М. Гомеоморфный образ П. М. Данного класса, расположенный в том же или любом другом полном сепарабельном метрич. Пространстве, есть П. М. Того же класса. Лит.:[1] Лузин Н. Н., "С. R. Acad. Sei.", 1925, v. 180, p. 1572 (пер. [6], с. 304-306).

[2] Sierpirtski W., "Fund, math.", 1925, t. 7, p. 237-43. [3] Куратовский К., Топология, пер. [с англ.], т. 1, М., 1966. [4] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. С англ., М., 1970. [5] Siеrрirtski W., Les ensembles projectifs et analytiques, P., 1950. [В] Лузин Н. Н., Собр. Соч., т. 2, М., 1958, с. 242, 268. [7] Jech Т., Set theory, N.Y., 1978. [81 Hinman P., Recursion theoretic hierarchies, В., 1978. [9] Новиков П. С., Избр. Труды, М., 1979. [10] Козлова 3. И., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1962, т. 26, № 2, с. 223-60. [11] Канторович Л. В., Ливенсон Е. М., "Fund, math.", 1932, t. 18, p. 214-79. [12] Martin D., в кн. Handbook of mathematical logic, Amst., 1977, p. 783-815. [13] Моsсhоvakis Y., в кн. Proc. Of the Inter. Congr. Of Mathem. (Vancouver, 1974), v.

1, Montreal, 1975, p. 251 - 57. [14] Кановей В. Г., "Докл. АН СССР", 1980, т. 253, № 4, с. 800-03. [15] Любецкий В. А., в сб. Исследования по теории множеств и неклассич. Логикам, М., 1976, с. 96-122. [16] Keehris А., в кн. Logic colloquim'77, Amst., 1978, p. 155-60. [17] Mau1din R., "Mathematika", 1976, v. 23, .Ms 2, p. 151-55. [18] Marcus S., "Math. Nachr.", 1959, Bd 17, № 3-6, S. 143-50. [19] Козлова З. И., Филиппов В. П., "Изв. ВУЗов. Матем.", 1978, №7, с. 33 - 39. А. Г. Елъкин.