Ранг Алгебраической Группы

G - размерность любой из ее Картана подгрупп (эта размерность не зависит от выбора подгруппы Картана). Наряду с Р. А. Г. Gрассматриваются ее п о л у п р о с т о й р а н г и р е д у к т и в н ы й р а н г, к-рые, по определению, равны соответственно Р. А. Г. и Р. А. Г. , где R - радикал алгебраич. Группы G,a Ru - ее унипотентный радикал. Редуктивный Р. А. Г. G равен размерности любого из ее максимальных торов. Редуктивным k-pа н г о м линейной алгебраич. Группы G, определенной над полем k(а в случае, когда группа G редуктивна,- просто ее k-pа н г о м), наз. Размерность любого ее максимального k-разложимого тора (эта размерность не зависит от выбора тора. См. Разложимая группа). Если k-ранг определенной над k редуктивной линейной алгебраич.

Группы G равен нулю (соответственно рангу G), то группа G наз. А н из о т р о п н о й (соответственно р а з л о ж и м о й) над k(см. Также Анизотропная группа). П р и м е р ы. 1) Р. А. Г. Т n всех невырожденных верхнетреугольных квадратных матриц порядка правен ее редуктивному рангу и равен п;полупростой ранг группы Т п равен нулю. 2) Р. А. Г. Un всех верхнетреугольных квадратных матриц порядка n с единицами на главной диагонали равен ее размерности , а редуктивный и полупростой ранги группы Un равны нулю. 3) Р. А. Г. On(k, f).всех автоморфизмов определенной над полем kквадратичной формы f в n-мерном векторном пространстве над kравен , а k-ранг группы О n(k, f).равен индексу Витта формы f. Если характеристика основного поля равна 0, то Р.

А. Г. G совпадает с рангом ее алгебры Ли L(см. Ранг алгебры Ли).и равен минимальной из кратностей собственного значения l= 1 всевозможных присоединенных операторов (минимум берется по всем . Элемент , для к-рого эта кратность равна Р. А. Г. G, наз. Р е г у л я р н ы м. Множество регулярных элементов группы G открыто в G в топологии Зариского. Лит.:[1] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. С франц., т. 3, М., 1958. [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111. [3] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [4] X а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. В. Л. Попов.