Рациональная Особенность

- нормальная особая точка Р алгебраич. Многообразия или комплексно аналитич. Ространства X, допускающая разрешение особенности , при к-ром прямые образы структурного пучка О Y тривиальны при . Тогда этим свойством будет обладать и любое разрешение данной особенности. Если основное поле имеет характеристику 0, то особенность является Р. О. Тогда и только тогда, когда X - многообразие Коэна - Маколея и вложение дуализирующих пучков является изоморфизмом [5]. P.о. Являются, например, особые точки факторпространства , где G - конечная группа линейных преобразований. Особая точка 0 гиперповерхности при (см. [8]). Торические особенности. Если - г о р е н ш т е й н о в а изолированная особенность (т. О. Пучок wX локально свободен) над полем и -образующая пучка , то Рявляется Р.

О. Тогда и только тогда, когда в достаточно малой окрестности Uточки Р(см. [7]). В случае, когда dim Х=2, особенность Ррациональна тогда и только тогда, когда h1( О D)=0 для каждого цикла Dна исключительной кривой разрешения p. В этом случае для Р. О. Все компоненты Ei кривой Еизоморфны проективной прямой Р 1, Е - дивизор с нормальными пересечениями и граф Г разрешения является деревом. Фундаментальным циклом особенности наз. Минимальный цикл Z>0 на Е, для к-рого для всех i. В терминах цикла Zможно дать критерий рациональности. , а также вычислить кратность особенности и размерность касательного пространства [1]. Р. О. Гиперповерхностей Xв трехмерном аффинном пространстве A3 или, что эквивалентно, двумерные Р.

О. Кратности 2 наз. Д в о й н ы м и Р. О. Двойные Р. О. Имеют ряд эквивалентных характеризаций и несколько различных названий. О с о б е н н о с т и К л е й н а, о с о б е н н о с т и Д ю В а л я, п р о с т ы е о с о б е н н о с т и. Уравнения двойных Р. О. Возникают как уравнения, связывающие инварианты групп симметрии правильных многогранников (см. [6]). Это соответствует характеризаций двойных Р. О. Как особенностей факторпространств , где G - коночная подгруппа в . С точностью до сопряженности такие подгруппы исчерпываются списком. С п - циклич. Группа порядка п, бинарные группы диэдра Dn, группа тетраэдра Т, группа октаэдра О, группа икосаэдра I. Если p - минимальное разрешение двойной Р. О., то все и взвешенный граф Г совпадает со схемой простых корней одной из полупростых алгебр Ли , обозначения к-рых переносятся и на особенности.

С точностью до изоморфизма такая особенность определяется своим взвешенным графом Г ([3], [11]), см. Таблицу, кол. 915. Двойные Р. О. Могут быть охарактеризованы как двумерные горенштейновы Р. О. Они наз. Также к а н он и ч е с к и м и о с о б е н н о с т я м и, т. К. Это в точности те особенности, к-рые появляются на канонич. Моделях алгебраич. Поверхностей основного типа. Если горенштейнова Р. О. Произвольной размерности, то ее общее гиперповерхностное сечение есть либо рациональная, либо эллиптическая горенштейнова особенность, что позволяет, в частности, описать трехмерные Р. О. (см. [8]). В произвольной размерности справедливы следующие факты (см. [4]). 1) Деформация Р. О. Есть снова Р. О. 2) Если - плоский морфизм, , причем точка s=f(x)является Р.

О. В S, а х - Р. О. Слоя , то x- является Р. О. В X.3) Если деформация имеет гладкую базу Sи допускает одновременное разрешение особенностей, то точка является Р. О. Тогда и только тогда, когда хявляется Р. О. В своем слое ). В случае dim X=2любая деформация многообразия Y, разрешающего Р. О. , определяет деформацию особенности Р, к-рая получается, если стянуть исключительные кривые слоев данной деформации. В результате получается морфизм баз версальных деформаций многообразия Yи особенности Р. Образ есть неособая неприводимая компонента в Def X, называемая к о м п о н е н т о й А р т и н а, а - накрытие Галуа, группа Wк-рого может быть найдена при помощи графа Г особенности Р(см. [2], [10] ). В частности, для двойной Р.

О. J сюръективно и Wсовпадает с группой Вейля соответствующей алгебры Ли, т. Е. Версальная деформация Р. О. Одновременно разрешается после накрытия Галуа базы деформации с группой Вейля W(см. [9]). Лит.:[1] А r t i n М., "Amer. J. Math.", I966, v. 88, p. 129- 36. [2] е г о ж е, "J. Algebra" 1974, v. 29, №2, p. 330-48. [3] B r i e s k o r n E., "Invent. Math.", 1968, v. 4, p. 336-58. [4] E 1 k i k R., там же, 1978, v. 47, p. 139 - 47. [5] К е m p f G., B кн. Toroidal embeddings, v. 1, В.- [u. A.], 1973, p. 41-52. [6] K l e i n F., Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichung von funften Grade, Lpz., 1884. [7] L a u f е r Н. В., "Amer. J. Math.", 1972, v. 94, p. 597 - 608. [8] R е i d М., в кн. Geometrie algebrique, Rockvill, 1980, p. 273-311. [9] S l o d o w y P.

J., Simple singularities and simple algebraic groups, В., 1980. [10] W a h 1 J., "Compos. Math.", 1979, v. 38, p. 43-54. [11] Т ю р и н а Г. Н., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1968, т. 32, с .943-70. Вал. С. Куликов.