Рациональное Число

- число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. Ч. Строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю наз. Упорядоченная пара ( а, b )целых чисел а и b, у к-рой b№0. Две рациональные дроби и наз. Э к в и в а л е н т н ы м и (р а в н ы м и) тогда и только тогда, когда ad=bc. Это соотношение эквивалентности, будучи рефлексивно, симметрично и транзитивно, разбивает множество всех рациональных дробей на классы эквивалентности. Р а ц и он а л ь н ы м ч и с л о м наз. Каждый класс эквивалентности рациональных дробей. Разные классы определяют разные Р. Ч. Множество Р. Ч. Счетно. Р. Ч., содержащее рациональную дробь вида , наз. Н у л е м. Если r есть Р. Ч. И , то Р. Ч., содержащее рациональную дробь , наз.

Рациональным числом, противоположным Р. Ч. R, и обозначается через - r. Р. Ч. R наз. П о л о ж и т е л ь н ы м (о т р и ц а т е л ьн ы м), если оно содержит рациональную дробь , у к-рой аи dодного знака (разных знаков). Если Р. Ч. Положительно (отрицательно), то противоположное ему число отрицательно (положительно). В множестве Р. Ч. Вводится упорядоченность. Всякое отрицательное Р. Ч. Считается меньшим всякого положительного, положительное Р. Ч. R' считается меньшим положительного Р. Ч. , если существуют такие рациональные дроби , что ad<bc;всякое отрицательное (положительное) Р. Ч. R считается меньше (больше) нуля. R<0 (r>0). Отрицательное Р. Ч. R' считается меньшим отрицательного Р. Ч. , если положительное Р. Ч.-- r' больше положительного Р.

Ч. Абсолютная величина Р. Ч. Определяется как обычно:, если , если r<0. Суммой рациональных дробей и наз. Рациональная дробь , а произведением . С у мм о й и п р о и з в е д е н и е м Р. Ч. R' и r" наз. Классы эквивалентных рациональных дробей, содержащие соответственно сумму или произведение рациональных дробей и , принадлежащих r' и r". Упорядоченность, сумма и произведение Р. Ч. R' и r" не зависят от выбора представителей в соответствующих классах эквивалентности и , т. Е. Однозначно определяются самими Р. Ч. R' и r". Р. Ч. Образуют упорядоченное поле, обозначаемое . Для обозначения Р. Ч. Rприменяются рациональные дроби ия класса эквивалентности, задающего это число. . Таким образом, одно и то же Р. Ч. Может быть записано разными, но эквивалентными рациональными дробями.

Если каждому Р. Ч., содержащему рациональную дробь вида , поставить в соответствие целое число а, то получится изоморфное отображение множества указанных Р. Ч. На кольцо целых чисел. Поэтому Р. Ч., содержащие рациональные дроби вида , обозначают через а. Всякая функция вида (1) является метрикой в поле Р. Ч. , то есть удовлетворяет условиям. при любых и . Поле Р. Ч. Не является полным в метрике (1). Пополнением поля Р. Ч. По метрике (1) является поле действительных чисел. Функция (2) где р - простое число, r-Р. Ч., представимое в виде ( - целое, - несократимая рациональная дробь, причем числа аи bне делятся на p), а r - фиксированное число, 0<r<1, также является метрикой в поле Р. Ч. Она наз.

Р-а д и ч е с к о й м е т р и к о й. Поле Р. Ч. с метрикой (2) не является полным. Пополнением поля Р. Ч. По метрике (2) является поле р-адических чисел. Метрики (1) и (2) (для всех простых чисел) исчерпывают все нетривиальные метрики в поле Р. Ч. В десятичной записи Р. Ч. И только они представимы периодическими десятичными дробями. Лит.:[1] Б о р е в и ч 3. И., III а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972. [2] II и з о Ш., 3 а м а н с к и й М., Курс математики. Алгебра и анализ, пер. С франц., М., 1971. Л. Д. Кудрявцев.