Рациональное Представление

а л г е бр а и ч е с к о й г р у п п ы G - линейное представление алгебраич. Группы G над алгебраически замкнутым полем kв конечномерном векторном пространстве Vнад k, являющееся рациональным (и тем самым регулярным) гомоморфизмом группы Gв GL(V). Говорят также, что V - р а ц и о н а л ь н ы й G-м о д у л ь. Прямая сумма и тензорное произведение конечного числа Р. П. Группы G являются Р. П. Подпредставление и факторпредставление нек-рого Р. П. Являются Р. П. Симметрическая или внешняя степень любого Р. П. Является Р. П. Представление, контрагредиентное к Р. П., является Р. П. Если G конечна, то всякое ее линейное представление будет Р. П. И теория Р. П. Сливается с теорией представлений конечных групп. В наибольшей степени специфич. Методы теории линейных алгебраич.

Групп используются при исследовании Р. П. В том случае, когда рассматриваемая группа связна, причем наиболее глубоко развита теория Р. П. Связных полупростых алгебраич. Групп. Далее G - такая группа. Пусть Т - ее максимальный тор, Х(T) - его группа рациональных характеров (записываемая аддитивно), S - система корней группы G относительно Т, W - ее группа Вейля. И пусть есть Р. П. Ограничение представления j на Т разлагается в прямую сумму одномерных представлений, точнее где Pj МX(T)-нек-рое множество характеров тора Т, называемых в е с а м и представления, а Множество весов Р j инвариантно относительно W. Если char k=0, то всякое Р. П. Группы G вполне приводимо, но если char k>0, то это уже не так (см.

Мамфорда гипотеза). Однако при любой характеристике поля kимеется полное описание неприводимых Р. П. Пусть В- борелевская подгруппа в G, содержащая Т, и D - определяемая ею система простых корней в S. Группа X (B)рациональных характеров группы Вотождествляется с Х(T). В пространстве Vлюбого неприводимого Р. П. существует единственное одномерное весовое подпространство V(dj), , инвариантное относительно группы В. Характер dj наз. С т а р ш и м в е с о м н е п р и в о д и м ог о Р. П. J. Он доминантен, т. Е. Скалярное произведение для любого , а всякий другой вес имеет вид Отображение определяет биекцию между классами эквивалентных неприводимых Р. П. И доминантными элементами из Х(Т). Явная конструкция всех неприводимых Р.

П. Может быть получена следующим образом. Пусть - алгебра регулярных функций на G. Для любого рассматривается подпространство Оно конечномерно и является рациональным G-модулем относительно действия группы G левыми сдвигами. Геометрич. Смысл этого пространства таков. Оно канонически отождествляется с пространством регулярных сечений одномерного однородного векторного расслоения над G/B, определенного характером -c. Пусть - элемент, переводящий положительные корни в отрицательные. Тогда если , то c- доминантный характер и минимальный ненулевой G-подмодуль в является неприводимым рациональным G-модулем со старшим весом c. Всякий неприводимый рациональный G-модуль получается при помощи такой конструкции.

Если char k=0, то уже сам G-модуль неприводим. Для получения неприводимых Р. П. Часто используются упомянутые выше операции над Р. П. Напр., если ji-- неприводимое Р. П. Со старшим весом ci, i=1, ..., d, то нек-рое факторпредставление является неприводимым Р. П. Со старшим весом ci + +...+cd (оно наз. К а р т а н о в с к о й к о м п оз и ц и е й Р. П. J1, . ., jd). Если j - неприводимое Р. П. Со старшим весом c, то нек-рое факторпредставление является неприводимым Р. П. Со старшим весом dc, а j* - неприводимо и его старшим весом является - Пусть - алгебра Ли группы G. Если есть Р. П., то его дифференциал dj является представлением алгебры Ли . Р. И. J наз. Инфинитезимально неприводимым, если dj - неприводимое представление алгебры .

Инфинитезимально неприводимое Р. П. Неприводимо, а в случае char k=0 верно и обратное (что в значительной степени сводит теорию Р. П. Группы к теории представлений ее алгебры Ли), однако в случае char k>0 это уже не так. Инфинитезимально неприводимые Р. П. В этом случае - это в точности неприводимые Р. П. Со старшими весами c, для к-рых Более того, все неприводимые Р. П. Могут быть построены при помощи Инфинитезимально неприводимых. Точнее, если G односвязна, т. Е. Если X(Т)совпадает с решеткой весов корневой системы S, то всякое неприводимое Р. П. Однозначно разлагается в тензорное произведение вида где ji0, j1 . ., jd Инфинитезимально неприводимы, а - представление, полученное применением к матричным элементам представления ji автоморфизма Фробениуса Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер.

С англ., М., 1972. [2] е г о ж е, в кн. Algebraic geometry, Providence, 1975, p. 421-40 (Proc. Symposia in pure math., v. 29, Arkata, 1974). [3] Х а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. [4] Семинар по алгебраическим группам, пер. С англ., М., 1973. [5] С т е й н б е р г Р., Лекции о группах Шевалле, пер. С англ., М., 1975. [6] е г о ж е, "Nagoya math. J.", 1963, v. 22, p. 33-56. [7] Hochschild G., The structure of Lie groups, S. F., 1965. [8] H u m p h r e y s J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, N. Y. - [a. O.], 1972. В. Л. Попов. .