Сжатий Полугруппа

- однопараметрически сильно непрерывная полугруппа T(t),, Т(0)=I, линейных операторов в банаховом пространстве E, для к-рых . Плотно определенный в Еоператор Абудет производящим оператором (г е н е р а т о р о м) С. П. Тогда и только тогда, когда выполнено условие Хилле - Иосиды при всех l>0. В других терминах. Плотно определенный оператор А - генератор С. П. Тогда и только тогда, когда он является максимальным диссипативным оператором. Детально изучены С. П. В гильбертовом пространстве Н. Частными видами С. П. Являются полугруппы изометрий , унитарные полугруппы ( Т*(t)=T-1(t)), самосопряженные полугруппы ( Т*(t)=T(t)), нормальные полугруппы ( Т*(t)T(t)=Т(t)T*(t)). Вместо генератора Аиногда удобно рассматривать его п р е о б р а з о в а н и е К э л и.

B=(A+I)(A-I)-1 (к о г е н е р а т о р). Оказывается, что полугруппа будет полугруппой изометрий, унитарной, самосопряженной, нормальной полугруппой тогда и только тогда, когда когенератор соответственно будет изометрическим, унитарным, самосопряженным, нормальным оператором. С. П. Наз. В п о л н е н е у н и т а р н о й, если ее сужение на любое инвариантное подпространство не является унитарным. Для вполне неунитарной полугруппы при и любых . Для того чтобы С. П. Была вполне неунитарной, достаточно, чтобы она была устойчивой, т. Е. Чтобы при и . Для всякой С. П. T(t) существует такое ортогональное разложение на инвариантные относительно Т(t)подпространства, что на Н 1 полугруппа унитарна, а на Н 2 вполне неунитарна.

Если Т(t)есть С. П. В гильбертовом пространстве Н, то существует более широкое гильбертово пространство , содержащее Нкак подпространство, и в нем такая унитарная группа , что Т(t)=PU(t)при , где Р - ортогональный проектор из на Н. Группа U(t)наз. Унитарной дилатацией полугруппы T(t). Дилатация определяется однозначно с точностью до изоморфизма, если потребовать, чтобы совпадало с замкнутой линейной оболочкой множества (минимальная дилатация). Пусть N - гильбертово пространство и - гильбертово пространство всех измеримых N-значных функций , с интегрируемым квадратом нормы. В этом пространстве определена унитарная группа двустороннего сдвига (U(t)f)(s)=f(s-t). Аналогично, в пространстве определена полугруппа одностороннего сдвига при и 0 при Всякая вполне неунитарная полугруппа изометрий изоморфна одностороннему сдвигу в , при нек-ром вспомогательном пространстве N.

Если Т(t) - вполне неунитарная С. П. И U(t) - ее минимальная унитарная дилатация, то на нек-ром инвариантном подпространстве (а если Т(t)устойчива, то и на всем ) группа изоморфна двустороннему сдвигу. О полугруппах сжатия с нелинейными операторами см. Полугруппа нелинейных операторов. Лит.:.[1] D a v i e s Е., One-parameter semigroups, L.- [a.о.], 1980. [2] С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б., Ф о ш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. С франц., М., 1970. С. Г. Крейн..