Симплектическое Пространство Однородное

- симплектическое многообразие (М, w) вместе с транзитивной группой Ли G его автоморфизмов. Элементы алгебры Ли группы G можно рассматривать как симплектические векторные поля на М, т. Е. Поля X, сохраняющие симплектическую 2-форму w. где точкой обозначена производная Ли, iX - оператор внутреннего умножения на X, d - внешний дифференциал. С. П. О. Наз. Строго симплектическим, если все поля гамильтоновы, то есть iXw=dHX, где HX функция на М(гамильтониан поля X), причем гамильтониан HX можно выбрать так, чтобы отображение было гомоморфизмом алгебры Ли в алгебру Ли функций на Мотносительно скобки Пуассона. Примером строго С. П. О. Является орбита группы Ли G относительно коприсоединенного представления Ad*G группы G в пространстве линейных форм на , проходящая через произвольную точку .

Инвариантная симплектическая 2-форма w на М a задается формулой где Xb, Yb - значения векторных полей в точке . Поле имеет гамильтониан Н X(b).b(Х). Для произвольного строго С. П. О. ( М,w, G) определено G-эквивариантное отображение момента к-рое отображает Мна орбиту m(М).группы G в и является локальным изоморфизмом симплектич. Многообразий. Таким образом, любое строго С. П. О. Группы G является накрытием над орбитой группы G в коприсоединенном представлении. Односвязные С. П. О. С односвязной, но не обязательно эффективно действующей группой автоморфизмов G находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами естественного действия группы G в пространстве замкнутых 2-форм на ее алгебре Ли . Соответствие определяется следующим образом.

Ядро любой 2-формы является подалгеброй алгебры Ли . Соответствующая связная подгруппа К s. Группы Ли G замкнута и определяет одно-связное однородное пространство М s.= G/Кs. Форма а задает невырожденную 2-форму в касательном пространстве точки о=еКs. Многообразия М s, к-рая продолжается до G-инвариантной симплектич. Формы ws на М s. Таким образом, форме а отвечает односвязное С. П. О. (М s, ws). Если не содержит идеалов алгебры Ли , то действие G на М s локально эффективно. С. П. О. М s. И М s' изоморфны тогда и только тогда, когда формы s, s' принадлежат одной орбите группы G в . Для точной 2-формы s=da. С. П. О. М s. Отождествляется с универсальной накрывающей С. П. О. М a, являющегося орбитой точки a в коприсоединенном представлении.

Если , то орбита Gs любой точки канонически снабжается структурой С. П. О. И любое С. П. О. Односвязной группы G изоморфно накрытию над одной из таких орбит. В частности, М s. Есть универсальная накрывающая орбиты Gs. Пусть (М, w) - компактное С. П. О. Односвязной связной группы G, действующей локально эффективно. Тогда G есть прямое произведение полупростой компактной группы Sи разрешимой группы R, разлагающейся в полупрямое произведение абелевой подгруппы и абелева нормального делителя, а С. П. О. (М, w) разлагается в прямое произведение С. П. О. С группами автоморфизмов Sи R соответственно. Частным случаем С. П. О. Является симплектическое групповое пространство - группа Ли вместе с левоинвариантной симплектич. Формой w. Известно, что из редуктивности группы Ли, допускающей левоинвариантную симметрич.

Форму, следует ее коммутативность, а из унимодулярности - разрешимость. Все такие группы размерности разрешимы, но начиная с размерности 6 существуют неразрешимые симплек-тические групповые пространства [3]. Лит.:[1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978. [2] Гийемин В., Стернберг С., Геометрические асимптотики, пер. С англ., М., 1981. [3] С h u B.-Y., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1974, v. 197, p. 145-59. [4] Zwаrt P h. В., Вооthbу W. М., "Ann. Inst. Fourier", 1980, t. 30, № 1, p. 129-57. Д. В. Алексеевский.