Симплициальный Объект

категории - произвольный контравариантный функтор X. (или, что то же самое, ковариантный функтор ) из категории D, объектами к-рой являются упорядоченные множества [n]={0, 1, . ., п}, , а морфизмами - неубывающие отображения m. Ковариантный функтор (или, что то же самое, контравариантный функтор ). Наз. Косимплициальным объек-т о м категории . Морфизмы категории D, определенные формулами порождают любой морфизм категории D, так что С. О. Xполностью определен, если для любого задан объект Х([п])=Х п (наз. N-м слоем, или n-й компонентой, С. О. X).и морфизмы (наз. Соответственно операторами граней и операторами вырождения). В случае, когда является категорией структуризованных множеств, точки множества Х п наз.

Обычно n-мерными симплексами С. О. X. Отображения di и si удовлетворяют соотношениям причем любое соотношение между этими отображениями является следствием соотношений (*). Это означает, что С. О. Xможно отождествить с системой {Х п, di, si}, состоящей из объектов Х n,, категории и морфизмов и удовлетворяющих соотношениям Аналогично, косимплициальный объект Xможно рассматривать как систему {Х п, di, si}, состоящую из объектов ( п - х кослоев), и морфизмов di. (операторов кограней), и (операторов ковырождения), удовлетворяющих соотношениям (*) (в к-рых положено di=di, si=si). Симплициальным отображением f. С. О. Xв С. О. Y(одной и той же категории ) наз. Произвольное преобразование (морфизм) функтора в функтор , т.

Е. Такая система морфизмов , критерии , что , Симплициальные объекты категории и их симплициальные отображения образуют категорию . Симплициальной гомотопией , связывающей симплициальные отображения симплициальных объектов категории С, наз. Такое семейство морфизов , категории , что На основе этого определения в категории над произвольной категорией можно воспроизвести по существу всю обычную теорию гомотопий. В случае категории множеств или топологич. Пространств функтор геометрич. Реализации (см. Симплициальное множества).переводит эту "симплициальную" теорию в обычную. Примеры С. О. Симплициальное множество, симплициальное топологич. Пространство, симплициальное алгебраич. Многообразие, симплициальная группа, симплициальная абелева группа, симплициальная алгебра Ли, симплициальное гладкое многообразие и т.

Д. Каждая симплициальная абелева группа является цепным комплексом с граничным оператором d= S (-l)idi. Лит.:[1] Габриель П., Цисман М., Категории частных и теории гомотопий, пер. С англ., М., 1971. [2] Мау J. Р., Simplicial objects in algebraic topology, Princeton, 1967. [3] Lamоtkе K., Semisimpliziale algebraische Topologie, В.- [u. A.], 1968. С. Н. Малыгин, М. М. Постников.