Сингулярное Распределение

распределение вероятностей в , сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность. На прямой определение С. Р. Эквивалентно следующему. Распределение сингулярно, если соответствующая функция распределения непрерывна, а ее множество точек роста имеет нулевую меру Лебега. Примером С. Р. На прямой может служить распределение, сосредоточенное на канторовом множестве, т. Н. Канторово распределение, к-рое можно описать следующим образом. Пусть Х 1, X2, . .- последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2. Тогда случайная величина имеет канторово распределение, и его характеристич. Функция равна Пример С.

Р. В - равномерное распределение на сфере положительного радиуса. Свертка двух С. Р. Может быть либо сингулярной, либо абсолютно непрерывной, либо представлять собой смесь сингулярного и абсолютно непрерывного распределений. Любое вероятностное распределение Рможет быть единственным образом представлено в виде где Р d - дискретное, Р а- абсолютно непрерывное, a Ps - С. Р., (разложение Лебега). Иногда сингулярность понимается в более широком смысле. Вероятностное распределение Fявляется С. Р. По отношению к мере Р, если оно сосредоточено на множестве Nтаком, что P{N}=0. При таком определении каждое дискретное распределение является С. Р. По отношению к мере Лебега. По поводу сингулярных функций множеств см.

Также Абсолютная непрерывность функции множества. Лит.:[1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973. [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., 2 изд., т. 2, М., 1907. В. Г. Ушаков.