Синус Гордона Уравнение

Sinе-Gоrdоn уравнение,- релятивистски инвариантное уравнение, в пространственно-временных переменных имеющее вид (A) Название предложено М. Крускалом по аналогии с линейным Клейна- Гордона уравнением (где вместо sin истоит и). В характеристических (светоподобных) переменных С. Г. У. Выглядит так. (B) Как в случае (А), так и в случае (В) С. Г. У. Допускает представление Лакса с линейными операторами Lи М, что позволяет применить к нему метод обратной задачи рассеяния ([L, M]=LM-ML). Задача Коши для С. Г. У. Формулируется следующим образом. Случай (А). Случай (В). Здесь - пространство Шварца быстроубывающих функций. Задачи Коши (А) и (В) при нек-рых дополнительных ограничениях на начальные данные однозначно разрешимы в указанных классах, и множества их решений совпадают.

Эволюция данных рассеяния соответствующих L-операторов дается явными формулами, а решения и( х, t).и и(s, t) находятся с помощью интегральных уравнений типа Гельфанда - Левитана - Марченко. Периодич. Задача для С. Г. У. Может быть исследована с помощью алгебро-геометрич. Метода (подобно тому, как это делается для Кортевега - де Фриса уравнения);в частности, получены явные выражения для конечнозонных решений С. Г. У. Через q-функции на соответствующих абелевых многообразиях. Гамильтонова формулировка С. Г. У. Заключается в том, что, напр., в случае (А) оно представляет собой гамильтонову систему с гамильтонианом и симплектич. Формой Эта система является вполне интегрируемой, и переход от переменных u и p к данным рассеяния соответствующего оператора Lявляется канонич.

Преобразованием к переменным типа действие-угол. Фазовое пространство параметризуется канонически сопряженными переменными трех типов. Полная энергия P0 и полный импульс поля ив новых переменных выглядят следующим образом. В случае (В) также получается вполне интегрируемая гамильтонова система. Одно из приложений к квантовой теории поля. Пусть и( х, t).- скалярное поле с лагранжианом (здесь у - константа связи). С. Г. У. Является уравнением Эйлера - Лагранжа для этого лагранжиана. При квазиклассич. Квантовании поля иосновную роль играют приведенные выше выражения для Р 0 и Р 1. Первые члены в правых частях указанных формул отвечают частицам с массой т- частицам основного поля. Переменным второго и третьего типов соответствуют локализованные решения С.

Г. У.- солитоны и двойные солитоны с массами Ми 2Мsin q. Система обладает законом сохранения (топологич. Заряд). Частицы первого и третьего типов имеют заряд, равный 0, а у частиц второго типа заряд равен +1. Частицы с одинаковыми зарядами отталкиваются, а с разными зарядами - притягиваются. Наличие бесконечного числа законов сохранения означает, что при рассеянии сохраняются количества частиц каждого типа. N-частичная S-матрица сводится к парным S-матрицам. С помощью интеграла по траекториям можно вычислить квантовые поправки к массам и к квазиклассической S-матрице солитонов. Одним из нетривиальных свойств указанной модели является появление целого спектра частиц (солитонов), в то время как лагранжиан теории содержит только одно поле.

Кроме того, в приближении слабого взаимодействия (т. Е. Когда g мало) солитоны - тяжелые частицы и сильно взаимодействуют. Лит.:[1] Ablowltz M. [и др.], "Phys. Rev. Lett.", 1973, v. 30, p. 1262-64. [2] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., "Теоретич. Иматем. Физика", 1974, т. 21, № 2,c. 160- 174. [3] их же, "Тр. Матсм. Ин-та АН СССР", 1976, т. 142, с. 254-66. [4] Козел В. А., Котляров В. П., "Докл. АН УССР, сер. A.", 1976, № 10, с. 878-81. [5] Корепин В. Е., Фаддеев Л. Д., "Теоретич. И матем. Физика" 1975, т. 25, № 2, с. 147-63. [6] Вianсhi L., Lezioni di geo-metria differenziale, v. 2, pt 1-2, Pisa, 1923-24. [7] Фиников С. П., Изгибание на главном основании..., М.- Л., 1937. [9] Пелиновский Е. Н., "Изв. Вузов. Радиофизика", 1976' т. 19, № 5-6, с. 883 - 901. Л. А. Тахтаджян.