Собственное Значение

оператора (преобразования) А векторного пространства Lнад полем k - элемент такой, что существует ненулевой вектор удовлетворяющий условию Вектор хв этом равенстве наз. собственным векторам оператора А, принадлежащим С. З. В случае, когда оператор А линеен, С. З.- это такой элемент что оператор (где I - тождественный оператор) не инъективен. Если пространство . Конечномерно, то С. З. Совпадают с корнями характеристического многочлена (из поля k), где А - матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе, а Е - единичная матрица. Кратность С. З. Как корня этого многочлена наз. Алгебраической кратностью. Для любого линейного преобразования конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем kмножество С.

З. Непусто. Оба условия - конечномерность и алгебраич. Замкнутость - существенны. Напр., поворот евклидовой плоскости на любой угол, не кратный не имеет С. З. С другой стороны, для оператора в гильбертовом пространстве, сопряженного сдвигу, каждое число из открытого единичного круга - С. З. Совокупность всех С. З. Линейного преобразования конечномерного пространства наз. Спектром линейного преобразования. Линейное преобразование n-мерного пространства диагоналмзируемо (т. Е. Существует базис, в котором матрица преобразования диагональна) тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность каждого С. З. Равна его геометрической кратности - размерности собственного подпространства (см. Собственный вектор). Соответствующего данному С.

З. В частности, для диагонализируемости линейного преобразования достаточно, чтобы оно имело празличных С. З. Собственное значение квадратной матрицы . Над полем k(или характеристический корень) - корень ее характеристического многочлена. Лит. См. При статьях Линейное преобразование. Матрица. Т. С. Пиголкина, В. С. Шулъман.