Собственный Морфизм

- морфизм схем, отделимый, универсально замкнутый и имеющий конечный тип. Морфизм схем f . наз. Замкнутым, если для любого замкнутого множество f(Z) замкнуто в Y, и универсально замкнутым, если для любой замены базы замкнут морфизм Свойство быть С. М. Сохраняется при композиции морфизмов, замене базы и для декартова произведения морфизмов. С. М. Близки к проективным морфизмам. Любой проективный морфизм собственный, собственный и квазипроективный морфизм проективен. Любой С. М. Доминируется проективным (лемма Чжоу). См. Также Полное алгебраическое многообразие, Проективная схема. С. М. Обладают рядом хороших когомологич. Свойств. 1) Если морфизм собственный и F- когерентный пучок О X -модулей, то для любого пучки О Y -модулей когерентны (теорема конечности).

Аналогичный факт имеет место и для этальных когомологий. В частности, если X - полная схема над полем k, то пространства когомологий Н q( Х, F )конечномерны. 2) Для любой точки пополнение OY, у -модуля совпадает с где J - идеал подсхемы f-1 (у) в X(теорема о сравнении). 3) Если X - собственная схема над полным локальным кольцом А, то категории когерентных пучков на Xи на ее формальном пополнении эквивалентны (теорема алгебраизуeмости). Существуют аналитич. Аналоги первого и третьего свойств. Напр. (см. [3]). Для полной -схемы Xлюбой аналитический когерентный пучок на алгебраизуем и 4) Пусть - С. М., F - пучок конечных абелевых групп в этальной топологии X, - геометрич. Точка схемы Y. Тогда слой пучка в точке изоморфен (теорема о замене базы, см.

[2]). Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonnc J., Elements de geometric algebrique, t. 2-3, P., 1961-63. [2] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 1-3, B.- [a. О.], 1972-73. [3] Revetements Stales et groupe fondamental, B. -la. O.], 1971. [4] Xартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, пер. С англ., М., 1981. В. И. Данилов.