Сфер Гомотопические Группы
- объект изучения классич. Теории гомотопий. Вычисление С. Г. Г. в свое время (особенно в 50-х гг.) рассматривалось как одна из центральных задач топологии. Топологи надеялись, что эти группы удастся полностью вычислить и что с их помощью можно будет решать другие классификационные гомотопич. Задачи. Эти надежды в основном не сбылись. С. Г. Г. Удалось вычислить лишь частично, и с развитием теории обобщенных когомологий задача их вычисления стала менее актуальной. Все же накопленная информация об этих группах не пропала даром, она нашла применения там, где их не ждали, в частности в дифференциальной топологии (классификации дифференциальных структур на сферах и многомерных узлов). I. Общая теория. 1) Если i<n или i>n=1, то 2) (теорема Брауэра -Xопфа).
Этот изоморфизм относит элементу группы степень представляющего его отображения 3) Группы имеют ранг 1. Прочие группы с конечны. Гомоморфизм надстройки относит элементу группы представляемому сфероидом класс сфероида определяемого формулой где 4) Гомоморфизм Е является изоморфизмом при i>2n-1 и эпиморфизмом при Таким образом, при каждом kгруппы могут быть составлены в последовательность в (k+2)-м члене к-рой наступает стабилизация. Группа наз. K-йстабильной С. Г. Г. И обозначается При этом при k<0 и Как и в гомотопических группах любого топологич. Пространства, в С. Г. Г. Определено умножение Уайтхеда. К обычным его свойствам (дистрибутивность, косая коммутативность, тождество Якоби) добавляется 5) Умножение Уайтхеда позволяет сделать следующее уточнение к 4).
6) ядро эпиморфизма порождается классом [in, in],где in - каноническая образующая группы (представляемая тождественным cфероидом). С умножением Уайтхеда тесно связан Хопфа инвариант определенный для Так, элемент группы представляемый отображением Хопфа действующим по формуле h(z1, z2)=z1 . Z2 (в к-рой S3 интерпретируется как единичная сфера пространства а S2 - как имеет инвариант Хопфа, равный 1. 7) Отображение есть изоморфизм. 8) Следствием 8) является бесконечность групп уже утверждавшаяся в 3). 9) При отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа (как было известно задолго до доказательства этой теоремы, ее утверждение равносильно следующей гипотезе Фробениуса. отсутствует билинейное умножение с однозначным делением на ненулевые элементы).
Специфическим для сфер является композиционное умножение определяемое при помощи компонирования представляющих отображений. 10) Для любых имеет место. лЛевый закон дистрибутивности.
Дополнительный поиск Сфер Гомотопические Группы
На нашем сайте Вы найдете значение "Сфер Гомотопические Группы" в словаре Математическая энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Сфер Гомотопические Группы, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "С". Общая длина 26 символа