Топологическое Тензорное Произведение

локально выпуклых пространств E1 и Е 2 - локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на билинейным операторам с нек-рым условием непрерывности. Точнее, пусть - нек-рый класс локально выпуклых пространств и для каждого задано подмножество Т(F)множества рездельно непрерывных билинейных операторов из в F. Тогда Т. Т. П. E1 и Е 2 (относительно класса Т(F))наз. Локально выпуклое пространство вместе с оператором обладающее следующим свойством. Для любого существует единственный непрерывный линейный оператор такой, что Таким образом, если ситуация позволяет говорить о функторе то определено как представляющий объект этого функтора. Во всех известных (1985) примерах содержит поле комплексных чисел а содержит все билинейные функционалы вида переводящие ( х, у )в i(x) g(y).

В этом случае, если Т. Т. П. Существует, то в есть плотное подпространство, к-рое можно отождествить с пространством алгебраического тензорного произведения;при этом Если состоит из всех раздельно (соответственно, совместно) непрерывных билинейных операторов, то Т. Т. П. Наз. Индуктивным (соответственно, проективным). Наиболее важно проективное Т. Т. П. Пусть { р i} - определяющие семейства полунорм в Е i, i=l, 2. Через p обозначается топология в определенная семейством полунорм Тогда если - класс всех, соответственно, всех полных локально выпуклых пространств, то проективное Т. Т. П. E1 и Е 2 существует и его локально выпуклое пространство есть с топологией соответственно, его пополнение. Если Ei - банаховы пространства с нормами р i, i=l, 2, то - норма в пополнение но к-рой обозначается через Элементы имеютдля каждого представление где Если снабдить более слабой, чем топологией с помощью семейства полунорм где Vи W - поляры единичных шаров относительно р1 и р 2, то возникает Т.

Т. П., иногда наз. Слабым. Локально выпуклые пространства E1,обладающие тем свойством, что для любого Е 2 обе топологии в совпадают, образуют важный класс ядерных пространств. Проективное Т. Т. П. Связано с понятием свойства аппроксимации. Локально выпуклое пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации, если для каждого предкомпактного множества и окрестности нуля Uсуществует непрерывный оператор конечного ранга такой, что для всех Все ядерные пространства обладают свойством аппроксимации. Банахово пространство Е 1 обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства Е 2 оператор однозначно определенный равенством имеет нулевое ядро. Построено [3] сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказано существование банаховых пространств без базиса Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство аппроксимации,- т.

О. Отрицательно решена т. Н. Лпроблема базиса.