Форма

алгебраической группы G, определенной над полем k, - алгебраич. Группа G', определенная над . И изоморфная группе Gнад нек-рым расширением . Ноля k. В этом случае G' наз. L/k- формой алгебраич. Группы G. Если ks - сепарабельное замыкание поля . В фиксированном основном алгебраически замкнутом поле . (универсальной области), то ks/k- формы наз. Просто k-формами группы G. Две L/k- формы группы наз. Эквивалентными, если они изоморфны над k. Множество всех классов эквивалентных L/k- форм группы Gобозначается через E(L/k, G )(в случае L=ks - через E(k, G ))(см. [5],[7],[8]). Пример. Пусть а и - две определенные над . Подгруппы полной линейной группы GL(2), тогда G' является k-формой . (соответствующий определенный над Кизоморфизм задается формулой Эта k-форма не эквивалентна G (если рассматривать Gкак свою собственную k-форму относительно тождественного изоморфизма G -> G).

В рассмотренном примере множество Е(k, G )состоит из двух элементов, представленных указанными двумя k-формами. Задача классификации Ф. Алгебраич. Групп естественно переформулируется на языке Галуа когомологий;[3, 5]. А именно, пусть L/k- расширение Галуа с группой Галуа Г L/k (снабженной топологией Крулля). Группа Г L/k естественно действует на группе AutLG всех L-автоморфизмов группы G, а также на множестве всех L-изоморфизмов группы G' в группу G (в координатах эти действия сводятся к применению автоморфизмов из Г L/k к коэффициентам рациональных функций, определяющих соответствующее отображение). Пусть -нек-рый L-изоморфизм, и -образ под действием Тогда отображение является непрерывным 1-коциклом группы Г L/k со значениями в дискретной группе AutLG.

При замене j на другой L-изоморфизм указанный коцикл заменяется на когомологичный. Тем самым возникает отображение Основное утверждение о когомологич. Интерпретации задачи описания Ф. Группы G состоит в том, что это отображение биективно. В случае когда все автоморфизмы внутренние, G' наз. Внутренней формой группы G, а в противном случае - внешней. Для связных редуктивных групп имеется глубоко развитая теория Ф. В ней устанавливаются относительные варианты структурной теории редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем. K-корни, k-группа Вейля, разложение Брюа над . И т. П. При этом роль максимальных торов играют максимальные k-разложимые торы, а роль борелевских подгрупп - минимальные k-параболич. Подгруппы [1, 2, 6, 7].

Эта теория позволяет свести вопрос о классификации Ф. К классификации анизотропных над kредуктивных групп (см. Анизотропная группа, Анизотропное ядро);вопрос о классификации последних существенно зависит от свойств поля k. Если а то описание Ф. Полупростых алгебраич. Групп - это описание вещественных Ф. Комплексных полупростых алгебраич. Групп (см. Комплексификация группы Ли). Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2] Xамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1980. [3] Серр Ж. - II., Когомологий Галуа, пер. С франц., М., 1068. [4] его же, Алгебраические группы и поля классов, пер. С франц., М., 1968. [5] Воскресенский В. Е., Алгебраические торы, М., 1977. [6] Борель А., Титc Ж., лМатематика.