Метаматематика

— раздел математической логики, изучаю­щий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. М. Рассматривает формализованную теорию как множество не­которых конечных последовательностей символов, называемых фор-  . Мулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и тер­мы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой пред­ложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам де­дукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствую­щие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве ак­сиом формализованной теории.

Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответ­ствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лиде­ром этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с по­мощью простых методов М. Удастся доказать непротиворе­чивость фундаментальных математических теорий. Однако тео­ремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществи­ма. Использование финитных методов для исследования форма­лизованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера.

Но на практике ограничение методов дока­зательства элементарными методами значительно усложняет ма­тематические исследования. Поэтому для более глубокого проник­новения в сущность формализованных теорий современная М. Широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является ал­геброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно. Булевой ал­геброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. П. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и то­пологического пространства.

С этой точки зрения представляется ес­тественным применение в М. Методов алгебры, теории решеток (струк­тур), теории множеств и топологии. В М. Широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. М. Исследует вопросы непротиворечивости и полноты форма­лизованных теорий. Независимость аксиом. Проблему разреши­мости. Вопросы определимости и погружения одних теорий в дру­гие. Дает точное определение понятия доказательства для различ­ных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции. Изучает проблемы интерпретации формальных систем и их раз­личные модели. Устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т. П..