Бесконечно Малое Изгибание

понятие, первоначально возникшее при описании деформации поверхности Fв трехмерном евклидовом пространстве, при к-рой изменение длин кривых на Fявляется величиной порядка малости меньшего, чем изменение пространственного расстояния между точками этих кривых. По существу же в теории Б. М. И. Исследуются векторные поля и связанные с ними величины, определенные в точках Fи удовлетворяющие тем уравнениям, к-рые являются линеаризацией уравнений изгибания F. Так, если - радиус-вектор деформации поверхности , то Б. М. И. Fхарактеризуется (начальной) скоростью деформации - вектором к-рый удовлетворяет уравнению или где - радиус-вектор . Вектор , наз. Также полем скоростей Б. М. И., или изгибающим полем. Однозначно определяется вектор утакой, что - множество точек пространства, описываемое радиус-вектором у, наз.

Диаграммой вращения Б. М. И. См. Также Дарбу поверхности. В более общей ситуации Б. М. И. Многообразия , расположенного в римановом пространстве , представляет собой изометрич. Вариацию вложения . , т. Е. Такое векторное поле вдоль вложения где - касательное расслоение к , к-рое удовлетворяет на уравнению здесь - векторные поля, касательные к вложению, - метрическая форма - ковариантная произвольная относительно Леви-Чи-вита связности на , соответствующей . Поле однозначно определяет поле кососимметрических тензоров типа (1,1) вдоль вложения. удовлетворяющее уравнению где - оператор римановой кривизны . Если индуцируется Киллинга вектором т. Е. то соответствующее Б. М. И. (а также и Само Z).наз. Тривиальным.

Если допускает только тривиальные Б. М. И., то оно наз. Жестким. См. Жесткость. При геодезическом отображении Б. М. И. с вектором однозначно соответствует Б.