Бесконечное Произведение

выражение содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличен от нуля. Б. П. Наз. Сходящимся, если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений при . 3начением Б. П. Наз. Этот предел и пишут Б. П. Сходится тогда и только тогда, если сходится ряд Тем самым исследование сходимости Б. П. Сводится к исследованию сходимости рядов. Б. П. (*) наз. Абсолютно сходящимся, если сходится Б. П. для абсолютной сходимости Б. П. (*) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд Б. П. Обладает переместительным свойством (т. Е. Его значение не зависит от порядка сомножителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно. Б.

П. (*) с функциональными сомножителями определенными, напр., в области D плоскости комплексного переменного z, сходится равномерно в D, если последовательность частичных произведений сходится в Dравномерно к пределу, отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в Dтакие, что на любом компакте их лежит не более конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом следующим образом. Б. П. (*) наз. (абсолютно, равномерно) сходящимся внутри D, если для любого компакта существует такой номер , что все сомножители на kпри и последовательность частичных произведений сходится на К(абсолютно, равномерно) к пределу, отличному от нуля. Если все сомножители - аналитич.

Функции на D и Б. П. Сходится равномерно внутри D, то оно представляет в D аналитич. Функцию. Б. П. Впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593) при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно он получил аналитич. Редставление числа p, построив следующее Б. П. Другое представление числа пвосходит к Дж. Валлису (J. Wallis, 1665). Б. П. С функциональными сомножителями появились у Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр. Б. П.- основной аппарат для представления аналитич. Функций с явным указанием их нулей. Они являются для целых функций аналогом разложения многочлена на множители. См. Также Бляшке произведение, Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении, Каноническое произведение. Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч.

1, М., 1971. [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. [3] Бицадзе А.