Бесконечного Порядка Уравнение

в комплексной области - дифференциальное уравнение вида где - искомая функция комплексного переменного - заданные .функции. Наиболее полно изучены .Б. П. У. с постоянными коэффициентами. Если .характеристич. Функция есть целая функция экспоненциального типа , то левая часть имеет смысл при , когда - функция, аналитическая в круге . При необходимо предположить, что - целая функция. Отличие от уравнения конечного порядка состоит уже в том, что решение может иметь особенности, даже когда - целая функция. Если и есть целая функция, то область существования любого решения выпукла [1]. Общее решение слагается из частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Пусть - корни характеристич.

Уравнения и - соответственно их кратности. Однородное уравнение имеет элементарные частные решения . Решению однородного уравнения можно отнести по определенному правилу ряд из элементарных решений. Если характеристич. Функция имеет правильный рост (в нек-ром определенном смысле), то найдется . Подпоследовательность частичных сумм этого ряда, сходящаяся к (см. [4]). В общем случае функцию можно аппроксимировать с любой точностью конечными линейными комбинациями из элементарных решений [5]. В случае Б. П. У. Может иметь неаналитические решения [2]. При нек-рых условиях эти решения образуют квазианалитический класс функций с менее сильными ограничениями на рост производных, чем в классич. Теореме Данжуа - Карлемана.

Б. П. У. Имеют различные применения. Для изучения последовательностей полиномов Дирихле, полноты систем аналитических функций, единственности аналитических и гармонических функций, разрешимости таких проблем анализа, как обобщенная проблема квазианалитичности, обобщенная проблема единственности моментов и т. Д. Лит.:[1] Ро1уa G., "Nachr. Ges. Wiss. Gottingen", 1927, S. 187-95. [2] Va1irоn G., "Ann. Sclent. Ecole norm, super.", 1929, t. 46, № 1, p. 25-53. (3] Леонтьев А. Ф., "Тр. Четвертого всесоюзн. Матем. Съезда", Л., 1964, т. 2, с. 648-60. [4] его же, "Матем. Сб.", 1966, т. 70, № 1, с. 132-44. [5] Красичко в-Терновский И. Ф., "Матем. Сб.", 1972, т. 88, № 3, с. 331 - 52. А. Ф. Леонтьев.