Бесселя Уравнение

- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка. илц в самосопряженной форме. Число v наз. Индексом Б. У. Величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1). Б. У. Представляет собой частный случай вырожденного гипергеометрического уравнения;уравнение (2) подстановкой приводится к Уиттекера уравнению. Точка является для уравнения (1) слабо особой, а точка -сильно особой, и поэтому Б. У. Не принадлежит классу Фукса уравнений. Первым систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Ф. Бессель [1], но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). Б. У. Возникает при разделении переменных во многих задачах математич.

Физики (см. [2]), в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрич. Области. Решения Б. У. Наз. цилиндрическими функциями (или бесселевыми функциями). Среди них выделяют цилиндрич. Функции 1-го рода (Бесселя функции) , цилиндрич. Функции 2-го рода ( Вебера функции, или Неймана функции) , цилиндрич. Функции 3-го рода ( Ганкеля функции) Если индекс фиксирован, то все эти функции - аналитич. Функции комплексного аргумента . Для всех этих функций, за исключением функций целого индекса, точка является ветвления точкой. Если же фиксирован аргумент , то все эти функции являются однозначными целыми функциями комплексного индекса (см. [3]). Если индекс не равен целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде где - произвольные постоянные.

При произвольном индексе любые две из функций линейно независимы и могут служить фундаментальной системой решений уравнения (1). Поэтому общее решение уравнения (1) представляется, в частности, в следующих формах. С уравнением (1) тесно связаны. Уравнение переходящее в (1) при подстановке и имеющее своей фундаментальной системой решений модифицированные цилиндрические функции (бесселевы функции мнимого аргумента), и уравнение переходящее в (1) при подстановке и имеющее своей фундаментальной системой решений Кельвина функции. Многие другие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Эйри уравнение]преобразованием неизвестной функции и независимой переменной также приводятся к уравнению (1).

Решение ряда линейных уравнений высших порядков удается записать через бесселевы функции (см. [4]). Подстановка приводит уравнение (1) к Лапласа уравнению. это позволяет представлять решения уравнения (1) через контурные интегралы на комплексной плоскости. В приложениях часто возникают задачи на собственные значения для уравнения // .