Билинейное Отображение

билинейная функция,- отображение f произведения левого унитарного A-модуля Vи правого унитарного В- модуля -бимодуль Н, удовлетворяющее следующим условиям. здесь - произвольно выбранные элементы, - кольца с единицей. Тензорное произведение над имеет естественную структуру -бимодуля. Пусть канонич. Отображение, тогда любое Б. О. F индуцирует гомоморфизм - бимодулей для к-рого Если и коммутативно, то множество всех Б. О. является -модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из A, а соответствие '.устанавливает канонич. Изоморфизм A-модуля и A-модуля всех A-линейных отображений в Н. Пусть - свободные модули с базисами и , соответственно. Б.

О. F полностью определяется заданием , для всех поскольку для любых конечных подмножеств имеет место формула И обратно, при произвольном выборе элементов формула (*), где определяет Б. О. в Н. Если I и J конечны, матрица называется матрицей Б. О. F относительно данных базисов. Пусть задано Б. О. Элементы наз. Ортогональными относительно f, если . Подмножества. И наз. Ортогональными относительно f, если всякий ортогонален всякому . Если X - подмодуль в V, то - подмодуль в W, наз. Ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение к подмодулю Y в W. Отображение f наз. Вырожденным справа (соответственно слева), если (соответственно ). Подмодули и наз.

Соответственно левым и правым ядром Б. О. F. Если и , то f наз. Невырожденным, ав противном случае - вырожденным. Отображение f наз. Нулевым, если и . Пусть - семейство левых A-модулей, - семейство правых B-модулей, - Б. О. В Н, V - прямая сумма A-модулей , а - прямая сумма В-модулей Wi. Отображение , определяемое правилом является Б. О. И наз. Прямой суммой отображений . Эта сумма ортогональна, т. Е. Подмодуль ортогонален подмодулю Wj относительно f при . Б. О. F невырождено тогда и только тогда, когда невырождено для всех . При этом В случае А=В =Н Б. О. Наз. билинейной формой. Лит.:[1]Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. С франц., М., 1966. [2] Ленг С., Алгебра, пер. С англ., М., 1968. В. Л. Попов.