Билинейная Форма

на произведении модулей - билинейное отображение -левый унитарный -модуль, W - правый унитарный А-модуль, А - кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А )-бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. Ф. На модуле V, а также, что Vнаделен метрич. Структурой с помощью f. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для Б. Ф. Так, говорят о матрице Б. Ф. Относительно выбранных базисов в Vи W, об ортогональности элементов и подмодулей относительно Б. Ф.,. Об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. Д. Напр., если А - поле и - конечномерное векторное пространство над Ас базисом e1 ..., е п, то для векторов и значение формы где . Иногда полином от переменных отождествляют с f и называют билинейной формой на V.

Если кольцо Акоммутативно, то Б. Ф. Есть частный случай полуторалинейной формы, (с тождественным антиавтоморфизмом) . Пусть кольцо Акоммутативно. Б. Ф. F на А- модуле Vназ. Симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех будет (соответственно )и наз, знакопеременной, если . Знакопеременная Б. Ф. Антисимметрична, обратное верно только, если для любого из следует . Если имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрич. Или антисимметрич. Формы на Vсимметрично . Б.

Ф. на Vназ. Изометричной Б. Ф. на W, если существует такой изоморфизм А-модулей что для любых . Этот изоморфизм наз. Изометрией форм, а если - метрическим автоморфизмом модуля V(или автоморфизмом формы f). Метрич. Автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы f), примеры таких групп - ортогональная группа, симплектич. Группа. Пусть А - тело, - Б. Ф. На , пространства конечномерны над А, тогда и это число наз. Рангом . Если Vконечномерно, а невырождена, то и для каждого базиса в Vсуществует дуальный относительно fбазис в W, определяемый условиями ( - символы Кронекера). Пусть, кроме того, , тогда подмодули и наз. Соответственно правым и левым ядрами f. Для симметрич. И антисимметрия, форм правое и левое ядра совпадают и наз.

Просто ядром формы. Пусть симметрич. Или антпсимметрич. Б. Ф. На V. Элемент , для к-рого , наз. Изотропным. Подмодуль наз. Изотропным, если , и вполне изотропным, если . Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры Б. Ф. (см. Витта разложение, Витта теорема, Витта кольцо). О строении Б. Ф. См. Также Квадратичная форма. // .