Вторая Вариация

частный случай n-той вариации функционала (см. Также Гато вариация), обобщающий понятие второй производной функции нескольких переменных. Используется в вариационном исчислении. Согласно общему определению В. В. В точке х 0 функционала f(x), определенного в нормированном пространстве X, есть При равенстве нулю первой вариации неотрицательность В. В. Является необходимым, а строгая положительность при нек-рых допущениях - достаточным условием локального минимума в точке . В простейшей (векторной) задаче классического вариационного исчисления В. В. Функционала (рассматриваемого на векторных функциях класса с закрепленными краевыми значениями ) имеет вид. где означает стандартное скалярное произведение в - матрицы с коэффициентами соответственно (производные вычисляются в точках кривой ).

Целесообразно рассматривать функционал от h, определяемый формулой (*), не только в пространстве С 1, но и на более широком пространстве абсолютно непрерывных векторных функций с интегрируемым квадратом модуля производной. В этом случае неотрицательность и строгая положительность В. В. Формулируются в терминах неотрицательности и строгой положительности матрицы (Лежандра условие).и отсутствия српряженных точек (Якоби условие), что дает условия слабого минимума в вариационном исчислении. Для вариационного исчисления в целом было проведено исследование В. В. Для экстремалей-, не обязательно доставляющих минимум (однако, по-прежнему,- при выполнении условия Лежандра, см. [1]). Важнейший результат - совпадение Морса индекса В.

В. И числа точек, сопряженных с , на интервале (см. [2]). Лит. [1] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934. [2] Милнор Дж., Теория Морса, пер. С англ., М., 1965. В. М. Тихомиров.